命題邏輯的推理規則精選(九篇)
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第1篇：命題邏輯的推理規則范文
【關鍵詞】數理邏輯；算法
一、古典數理邏輯
邏輯是研究推理的科學，它分為形式邏輯和辯證邏輯。數理邏輯用數學方法研究形式邏輯，它是用數學方法研究推理的科學。而數學方法，則是引進一套數學符號體系來研究推理，所以數理邏輯也叫符號邏輯。現代數理邏輯有四大分支：證明論、模型論、遞歸論和公理化集合論。命題演算是所謂的古典數理邏輯之一。
1.命題演算
命題：判斷結果惟一的陳述句。命題的真值是判斷的結果，真或假。真命題則是真值為真的命題。
假命題：即真值為假的命題。注意：感嘆句、祈使句、疑問句都不是命題。
陳述句中的悖論以及判斷結果不惟一確定的也不是。命題分為：簡單命題(原子命題)：簡單陳述句構成的命題。簡單命題的符號化：用p，q，r，…，pi，qi，ri(i≥1)表示，用“1”表示真，用“0”表示假。復合命題：由簡單命題通過聯結詞聯結而成的陳述句。例如：如果明天天氣好，我們就出去郊游。設p：明天天氣好，q：我們出去郊游，如果p，則q。聯結詞與復合命題：?稱否定聯結詞，∧稱合取聯結詞，∨稱析取聯結詞，蘊涵聯結詞，?稱等價聯結詞?。
聯結詞優先級：( )，?，∧，∨，，?，同級按從左到右的順序進行。
命題常項：簡單命題。命題變項：取值0(真)或1(假)的變元，真值表：命題公式在所有可能的賦值下的取值的列表，含n個變項的公式有2n個賦值，
2.命題演算的研究對象：重言式，矛盾式，偶然式
重言式(永真式)：無成假賦值的命題公式
矛盾式(永假式)：無成真賦值的命題公式
可滿足式：非矛盾式的命題公式
注意：重言式是可滿足式，但反之不真.
3.命題演算的科學性依據：恒等式和永真蘊含，推理規則和證明方法
若等價式A?B是重言式，則稱A與B等值，記作
A?B，并稱A?B是等值式
設S是一個聯結詞集合，如果任何n(n≥1)元真值
函數都可以由僅含S中的聯結詞構成的公式表示，則稱S是聯結詞完備集
4.命題命題演算的擴充和歸約：范式和主析取范式
主析取范式：由極小項構成的析取范式
主合取范式：由極大項構成的合取范式
任何命題公式都存在著與之等值的主析取范式和主合取范式，并且是惟一的。
二、命題邏輯思想與應用
主析取范式是命題邏輯思想解決問題的重要途徑。
1.求主析取范式的步驟
設公式A含命題變項p1，p2，…，pn，
(1)求A的析取范式A′=B1∨ B2∨ … ∨ Bs，其中Bj是簡單合取式 j=1，2，…，s
(2)若某個Bj既不含pi，又不含?pi，則將Bj展開成：
Bj ? Bj∧(pi∨?pi) ? (Bj∧pi)∨(Bj∧?pi)
重復這個過程，直到所有簡單合取式都是長度為n的極小項為止。
(3)消去重復出現的極小項，即用mi代替mi∨mi。
(4)將極小項按下標從小到大排列。
2.主析取范式的用途
(1)求公式的成真賦值和成假賦值
設公式A含n個命題變項，A的主析取范式有s個極小項，則A有s個成真賦值，它們是極小項下標的二進制表示，其余2n-s個賦值都是成假賦值。
如：?(pq)?∨r ? m0∨ m2∨ m4 ∨m5 ∨ m6
成真賦值：000，010，100，101，110；成假賦值：001，011，111 。
(2)判斷公式的類型
設A含n個命題變項，則：
A為重言式當且僅當A的主析取范式含2n個極小項
A為矛盾式當且僅當A的主析取范式不含任何極小項，記作0
A為可滿足式當且僅當A的主析取范式中至少含一個極小項。
如：
C? ?(p∨q)∨r ? (?p?∧q)∨r
?(?p?∧q∧r)∨(?p?∧q?∧r)∨(?p?∧q∧r)∨(?p∧q∧r)∨(p?∧q∧r)∨(p∧q∧r)
? m0∨m1∨m3∨ m5∨m7
(3)判斷兩個公式是否等值
用主析取范式判斷下面公式是否等值：
如某單位要從A，B，C三人中選派若干人出國考察，需滿足下述條件：
a、若A去，則C必須去；
b、若B去，則C不能去；
c、A和B必須去一人且只能去一人.
問有幾種可能的選派方案?
解決方法為：
記p：派A去，q：派B去，r：派C去
a：pr b：q?r c：(p?∧q)∨(?p∧q)
問題轉化為求下式的成真賦值
A=(pr)∧(q?r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))
利用求A的主析取范式
A=(pr)∧(q?r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))
?(?p∨r)∧(?q?∨r)∧((p?∧q)∨(?p∧q))
?((?p?∧q)∨(?p?∧r)∨(r?∧q)∨(r?∧r))
∧((p?∧q)∨(?p∧q))
?((?p?∧q)∧(p?∧q))∨((?p?∧r)∧(p?∧q))
∨((r?∧q)∧(p?∧q))∨((?p?∧q)∧(?p∧q))
∨((?p?∧r)∧(?p∧q))∨((r?∧q)∧(?p∧q))
?(p?∧q∧r)∨(?p∧q?∧r)
成真賦值：101，010。結論：方案1 派A與C去，方案2 派B去
第2篇：命題邏輯的推理規則范文
關鍵詞：數學語言；數學學習；重要性中圖分類號：G648文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2014）12-0007-01隨著科學技術的發展，特別是信息時代的到來，現代人只有擁有處理、運用語言的能力才能及時、準確地獲取信息和知識，清楚地表達自己的思想。數學與現代社會中任何一門學科相同，也必須通過語言來交流思想和傳遞知識。數學語言是思維的載體，是數學特有的形式化符號體系，依靠這種語言進行思維能夠使思維在可見的形式下再現出來。
1.數學語言及其分類
教學語言是一種人工符號語言，它的符號、規則，都是人工加以規定的，是先有規則，后有語句的。[ ]例如，數理邏輯中的命題演算是一個形式系統，它先規定命題的初始符號和命題符號化的規則，然后引出一系列命題公式和推理規則，進而實現推理和證明過程符號化。數學語言一般分為文字語言、符號語言和圖表語言三類。
1.1文字語言。文字語言與自然語言相近，但不是自然語言文字的簡單移植或組合，而是經過一定的加工、改造、限定而形成的。并且，這些語言具有數學學科特有的確定語義，常用于定義數學概念、術語和陳述數學性質、定理，其特點是通俗易懂，便于理解，可讀性強；缺點是語言冗長繁瑣，語言信息不集中，不易表露知識的內在結構，有時不夠精確，也不便于形式上的推理。
1.2符號語言。符號語言是在文字語言的基礎上限定、精確化而形成的，它的特點是簡潔、精確、抽象。正是符號語言的使用，明化了數學問題，簡化了數學推理，使數學思維過程出現簡約、跳躍，促進了數學的廣泛應用，推動了數學的發展，使數學證明、計算、演繹達到形式化、機械化、自動化。但若教學中過于集中使用符號語言，學生可能難以理解其基本語義。
1.3圖表語言。圖表語言是指用圖形或表格對數學對象和數學關系進行描述，如用二叉樹表示前綴碼、樹T的遍歷、命題邏輯中的真值表，它的特點是直觀、形象且生動，有助于記憶，有助于思維，有益于問題解決。缺點是有局限性，它受時空的制約，如求120和500的最大公約數，就不好用圖解的方法來解答了。
1.4文字語言、符號語言、圖表語言在數學中不是絕對孤立地使用的，三種語言通常是優勢互補和有機結合。文字語言能夠明確界定符號語言或圖表語言所描述的數學對象的意義與內涵。符號語言從文字語言的字句中解放出來，避免了冗長繁瑣的敘述，使思維得以準確清晰地進行，又彌補和超越了圖形語言的局限性。圖表語言為文字語言或符號語言提供直觀模型，也為理解和掌握相關的文字語言與符號語言的意義和內涵奠定認知基礎。能否自如地從一種語言轉換為另一種語言進行數學描述，是理解數學的試金石。
2.數學語言對數學語言學習的重要性
2.1數學語言是培養數學思維能力的必要條件。所謂數學思維是以數學概念為思維細胞，借助于數學語言，通過數學判斷和推理的形式，來認識數學對象，揭示數學結構和關系的思維。數學語言既是數學知識的表現形式，也是數學思維的工具。[ ]數學思維過程也就是對數學符號的操作過程，是主體借助于語言符號而認識和再現客體的過程.在這里，人的思維能力集中地表現為運用語言符號去再現客體、使語言符號的結構成為對象結構的邏輯再現，使數學符一號所表達的完整意義成大數學對象的觀念再現。[ ]因此，數學語言是數學思維的前提，對培養數學思維能力有著重要的意義。在教學中，如果不注意數學語言的培養，就會產生許多產重的后果，其中之一就是減慢思維從具體向抽象過渡的速度，而且使這種過渡不夠完全。其原因有三：一是缺乏相互作用的詞，這些詞是直接理解和運用抽象概念并使之相互關聯的先決條件；二是缺乏借助具體經驗理解和運用抽象概念的練習或訓練；三是不能準確地把握數學問題的內容、結構和實質，推理過程難以進行。
2.2數學語言是數學認識結構的"構件"
首先，數學知識的獲得主要通過數學符號的學習。事實上，只是由于有了高度概括的數學語言，才使得最復雜、嚴謹的數學認知活動成為可能。所謂數學認知結構，也就是用內化了的數學語言在頭腦中重組數學知識經驗的過程。其次，布魯納的符號原理表明，如果學生掌握了適合他們智力發展的符號，那么就能在認知上形成早期的結構。"數學中有效的符號體系使原理的擴充和新原理的創造成為可能。"例如，當表示方程的符號形成以后，就能學習解多項式方程的一般方法。數學語言在數學認知活動中起有關鍵的作用：一方面，它給予抽象的數學概念以名稱，所以，那種將已知概念聯合起來并轉化為新的抽象概念的認知過程才有可能進行；另一方面，用數學符號表達數學概念，是一個使這種概念更清晰、明確和精細的提煉過程。所以，我們應該把語言表達看作整個認知結構的一個組成部分。
2.3掌握數學語言是數學有意義學習的目的。奧蘇伯爾提出，符號代表的新觀念能否與學習者認知結構中原有的適當觀念建立實質性的和非人為的聯系，乃是區分有意義學習與機械學習的兩條標準。所謂非人為的聯系，是指內在聯系而不是任意的聯想或聯系，新知識與原有知識結構中有關的觀念建立在某種合理的或邏輯基礎上的聯系。所謂實質性聯系，是指表達的詞語雖不同，但卻是等值的，這種聯系是非字面的聯系。簡單地說，數學有意義學習就是學生能夠理解由符號所代表的新知識，理解它所代表的實際內容，并能融會貫通。
以上我們談了數學語言對數學學習的重要意義，但這并不意味著在中學階段就要教給學生以符號化、形式化的數學語言。事實上，這是不可能的，還要考慮到可接受性的原則，照顧到學生的認知發展水平。因此，中學數學的教學語言應該是數學語言和自然語言在心理學理論指導下的一種有機的統一體，至于應該如何統一，還有待于進一步的探討。參考文獻：
[1]邵光華,劉明海. 數學語言及其教學研究[J]. 課程.教材.教法,2005（02）.
[2]張國平. 數學語言與數學語言教學[J]. 池州師專學報,2006（03）.
[3]暢燕. 初中生數學語言能力的培養之研究[D].內蒙古師范大學,2008.
第3篇：命題邏輯的推理規則范文
［關鍵詞］人工智能，常識推理，歸納邏輯，廣義內涵邏輯，認知邏輯，自然語言邏輯
現代邏輯創始于19世紀末葉和20世紀早期，其發展動力主要來自于數學中的公理化運動。當時的數學家們試圖即從少數公理根據明確給出的演繹規則推導出其他的數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴格的演繹大廈，然后用某種程序和方法一勞永逸地證明數學體系的可靠性。為此需要發明和鍛造嚴格、精確、適用的邏輯工具。這是現代邏輯誕生的主要動力。由此造成的后果就是20世紀邏輯研究的嚴重數學化，其表現在于：一是邏輯專注于在數學的形式化過程中提出的問題；二是邏輯采納了數學的方法論，從事邏輯研究就意味著象數學那樣用嚴格的形式證明去解決問題。由此發展出來的邏輯被恰當地稱為“數理邏輯”，它增強了邏輯研究的深度，使邏輯學的發展繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之后進入第三個高峰期，并且對整個現代科學特別是數學、哲學、語言學和計算機科學產生了非常重要的影響。
本文所要探討的問題是：21世紀邏輯發展的主要動力將來自何處？大致說來將如何發展？我個人的看法是：計算機科學和人工智能將至少是21世紀早期邏輯學發展的主要動力源泉，并將由此決定21世紀邏輯學的另一幅面貌。由于人工智能要模擬人的智能，它的難點不在于人腦所進行的各種必然性推理（這一點在20世紀基本上已經做到了，如用計算機去進行高難度和高強度的數學證明，“深藍”通過高速、大量的計算去與世界冠軍下棋），而是最能體現人的智能特征的能動性、創造性思維，這種思維活動中包括學習、抉擇、嘗試、修正、推理諸因素，例如選擇性地搜集相關的經驗證據，在不充分信息的基礎上作出嘗試性的判斷或抉擇，不斷根據環境反饋調整、修正自己的行為，……由此達到實踐的成功。于是，邏輯學將不得不比較全面地研究人的思維活動，并著重研究人的思維中最能體現其能動性特征的各種不確定性推理，由此發展出的邏輯理論也將具有更強的可應用性。
實際上，在20世紀中后期，就已經開始了現代邏輯與人工智能（記為AI）之間的相互融合和滲透。例如，哲學邏輯所研究的許多課題在理論計算機和人工智能中具有重要的應用價值。AI從認知心理學、社會科學以及決策科學中獲得了許多資源，但邏輯（包括哲學邏輯）在AI中發揮了特別突出的作用。某些原因促使哲學邏輯家去發展關于非數學推理
的理論；基于幾乎同樣的理由，AI研究者也在進行類似的探索，這兩方面的研究正在相互接近、相互借鑒，甚至在逐漸融合在一起。例如，AI特別關心下述課題：
·效率和資源有限的推理；
·感知；
·做計劃和計劃再認；
·關于他人的知識和信念的推理；
·各認知主體之間相互的知識；
·自然語言理解；
·知識表示；
·常識的精確處理；
·對不確定性的處理，容錯推理；
·關于時間和因果性的推理；
·解釋或說明；
·對歸納概括以及概念的學習。[①]
21世紀的邏輯學也應該關注這些問題，并對之進行研究。為了做到這一點，邏輯學家們有必要熟悉AI的要求及其相關進展，使其研究成果在AI中具有可應用性。
我認為，至少是21世紀早期，邏輯學將會重點關注下述幾個領域，并且有可能在這些領域出現具有重大意義的成果：（1）如何在邏輯中處理常識推理中的弗協調、非單調和容錯性因素？（2）如何使機器人具有人的創造性智能，如從經驗證據中建立用于指導以后行動的歸納判斷？（3）如何進行知識表示和知識推理，特別是基于已有的知識庫以及各認知主體相互之間的知識而進行的推理？（4）如何結合各種語境因素進行自然語言理解和推理，使智能機器人能夠用人的自然語言與人進行成功的交際？等等。
1．常識推理中的某些弗協調、非單調和容錯性因素
AI研究的一個目標就是用機器智能模擬人的智能，它選擇各種能反映人的智能特征的問題進行實踐，希望能做出各種具有智能特征的軟件系統。AI研究基于計算途徑，因此要建立具有可操作性的符號模型。一般而言，AI關于智能系統的符號模型可描述為：由一個知識載體KB）和一組加載在KB上的足以產生智能行為的過程（稱為問題求解器PS）構成。經過20世紀70年代包括專家系統的發展，AI研究者逐步取得共識，認識到知識在智能系統中力量，即一般的智能系統事實上是一種基于知識的系統，而知識包括專門性知識和常識性知識，前者亦可看做是某一領域內專家的常識。于是，常識問題就成為AI研究的一個核心問題，它包括兩個方面：常識表示和常識推理，即如何在人工智能中清晰地表示人類的常識，并運用這些常識去進行符合人類行為的推理。顯然，如此建立的常識知識庫可能包含矛盾，是不協調的，但這種矛盾或不協調應不至于影響到進行合理的推理行為；常識推理還是一種非單調推理，即人們基于不完全的信息推出某些結論，當人們得到更完全的信息后，可以改變甚至收回原來的結論；常識推理也是一種可能出錯的不精確的推理模式，是在容許有錯誤知識的情況下進行的推理，簡稱容錯推理。而經典邏輯拒斥任何矛盾，容許從矛盾推出一切命題；并且它是單調的，即承認如下的推理模式：如果p?r，則pùq?r；或者說，任一理論的定理屬于該理論之任一擴張的定理集。因此，在處理常識表示和常識推理時，經典邏輯應該受到限制和修正，并發展出某些非經典的邏輯，如次協調邏輯、非單調邏輯、容錯推理等。有人指出，常識推理的邏輯是次協調邏輯和非單調邏輯的某種結合物，而后者又可看做是對容錯推理的簡單且基本的情形的一種形式化。[②]
“次協調邏輯”（ParaconsistentLogic）是由普里斯特、達·科斯塔等人在對悖論的研究中發展出來的，其基本想法是：當在一個理論中發現難以克服的矛盾或悖論時，與其徒勞地想盡各種辦法去排除或防范它們，不如干脆讓它們留在理論體系內，但把它們“圈禁”起來，不讓它們任意擴散，以免使我們所創立或研究的理論成為“不足道”的。于是，在次協調邏輯中，能夠容納有意義、有價值的“真矛盾”，但這些矛盾并不能使系統推出一切，導致自毀。因此，這一新邏輯具有一種次于經典邏輯但又遠遠高于完全不協調系統的協調性。次協調邏輯家們認為，如果在一理論T中，一語句A及其否定?A都是定理，則T是不協調的；否則，稱T是協調的。如果T所使用的邏輯含有從互相否定的兩公式可推出一切公式的規則或推理，則不協調的T也是不足道的(trivial)。因此，通常以經典邏輯為基礎的理論，如果它是不協調的，那它一定也是不足道的。這一現象表明，經典邏輯雖可用于研究協調的理論，但不適用于研究不協調但又足道的理論。達·科斯塔在20世紀60年代構造了一系列次協調邏輯系統Cn（1≤n≤w），以用作不協調而又足道的理論的邏輯工具。對次協調邏輯系統Cn的特征性描述包括下述命題：(i)矛盾律?(A??A)不普遍有效；(ii)從兩個相互否定的公式A和?A推不出任意公式；即是說，矛盾不會在系統中任意擴散，矛盾不等于災難。(iii)應當容納與(i)和(ii)相容的大多數經典邏輯的推理模式和規則。這里，(i)和(ii)表明了對矛盾的一種相對寬容的態度，(iii)則表明次協調邏輯對于經典邏輯仍有一定的繼承性。
在任一次協調邏輯系統Cn(1≤n≤w)中，下述經典邏輯的定理或推理模式都不成立：
?(Aù?A)
Aù?AB
A(?AB)
(A??A)B
(A??A)?B
A??A
(?Aù(AúB))B
(AB)(?B?A)
若以C0為經典邏輯，則系列C0,C1,C2,…Cn,…Cw使得對任正整數i有Ci弱于Ci-1，Cw是這系列中最弱的演算。已經為Cn設計出了合適的語義學，并已經證明Cn相對于此種語義是可靠的和完全的，并且次協調命題邏輯系統Cn還是可判定的。現在，已經有人把次協調邏輯擴展到模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、多值邏輯、集合論等領域的研究中，發展了這些領域內的次協調理論。顯然，次協調邏輯將會得到更進一步的發展。[③]
非單調邏輯是關于非單調推理的邏輯，它的研究開始于20世紀80年代。1980年，D·麥克多莫特和J·多伊爾初步嘗試著系統發展一種關于非單調推理的邏輯。他們在經典謂詞演算中引入一個算子M，表示某種“一致性”斷言，并將其看做是模態概念，通過一定程序把模態邏輯系統T、S4和S5翻譯成非單調邏輯。B·摩爾的論文《非單調邏輯的語義思考》（1983）據認為在非單調邏輯方面作出了令人注目的貢獻。他在“缺省推理”和“自動認知推理”之間做了區分，并把前者看作是在沒有任何相反信息和缺少證據的條件下進行推理的過程，這種推理的特征是試探性的：根據新信息，它們很可能會被撤消。自動認知推理則不是這種類型，它是與人們自身的信念或知識相關的推理，可用它模擬一個理想的具有信念的有理性的人的推理。對于在計算機和人工智能中獲得成功的應用而言，非單調邏輯尚需進一步發展。
2．歸納以及其他不確定性推理
人類智能的本質特征和最高表現是創造。在人類創造的過程中，具有必然性的演繹推理固然起重要作用，但更為重要的是具有某種不確定性的歸納、類比推理以及模糊推理等。因此，計算機要成功地模擬人的智能，真正體現出人的智能品質，就必須對各種具有不確定性的推理模式進行研究。
首先是對歸納推理和歸納邏輯的研究。這里所說的“歸納推理”是廣義的，指一切擴展性推理，它們的結論所斷定的超出了其前提所斷定的范圍，因而前提的真無法保證結論的真，整個推理因此缺乏必然性。具體說來，這種意義的“歸納”包括下述內容：簡單枚舉法；排除歸納法，指這樣一些操作：預先通過觀察或實驗列出被研究現象的可能的原因，然后有選擇地安排某些事例或實驗，根據某些標準排除不相干假設，最后得到比較可靠的結論；統計概括：從關于有窮數目樣本的構成的知識到關于未知總體分布構成的結論的推理；類比論證和假說演繹法，等等。盡管休謨提出著名的“歸納問題”，對歸納推理的合理性和歸納邏輯的可能性提出了深刻的質疑，但我認為，（1）歸納是在茫茫宇宙中生存的人類必須采取也只能采取的認知策略，對于人類來說具有實踐的必然性。（2）人類有理由從經驗的重復中建立某種確實性和規律性，其依據就是確信宇宙中存在某種類似于自然齊一律和客觀因果律之類的東西。這一確信是合理的，而用純邏輯的理由去懷疑一個關于世界的事實性斷言則是不合理的，除非這個斷言是邏輯矛盾。（3）人類有可能建立起局部合理的歸納邏輯和歸納方法。并且，歸納邏輯的這種可能性正在計算有人通過指責現有的歸納邏輯不成熟，得出“歸納邏輯不可能”的結論，他們的推理本身與歸納推理一樣，不具有演繹的必然性。（4）人類實踐的成功在一定程度上證明了相應的經驗知識的真理性，也就在一定程度上證明了歸納邏輯和歸納方法論的力量。毋庸否認，歸納邏輯目前還很不成熟。有的學者指出，為了在機器的智能模擬中克服對歸納模擬的困難而有所突破，應該將歸納邏輯等有關的基礎理論研究與機器學習、不確定推理和神經網絡學習模型與歸納學習中已有的成果結合起來。只有這樣，才能在已有的歸納學習成果上，在機器歸納和機器發現上取得新的突破和進展。[⑤]這是一個極有價值且極富挑戰性的課題，無疑在21世紀將得到重視并取得進展。
再談模糊邏輯。現實世界中充滿了模糊現象，這些現象反映到人的思維中形成了模糊概念和模糊命題，如“矮個子”、“美人”、“甲地在乙地附近”、“他很年輕”等。研究模糊概念、模糊命題和模糊推理的邏輯理論叫做“模糊邏輯”。對它的研究始于20世紀20年代，其代表性人物是L·A·查德和P·N·馬林諾斯。模糊邏輯為精確邏輯（二值邏輯）解決不了的問題提供了解決的可能，它目前在醫療診斷、故障檢測、氣象預報、自動控制以及人工智能研究中獲得重要應用。顯然，它在21世紀將繼續得到更大的發展。
3．廣義內涵邏輯
經典邏輯只是對命題聯結詞、個體詞、謂詞、量詞和等詞進行了研究，但在自然語言中，除了這些語言成分之外，顯然還存在許多其他的語言成分，如各種各樣的副詞，包括模態詞“必然”、“可能”和“不可能”、時態詞“過去”、“現在”和“未來”、道義詞“應該”、“允許”、“禁止”等等，以及各種認知動詞，如“思考”、“希望”、“相信”、“判斷”、“猜測”、“考慮”、“懷疑”，這些認知動詞在邏輯和哲學文獻中被叫做“命題態度詞”。對這些副詞以及命題態度詞的邏輯研究可以歸類為“廣義內涵邏輯”。
大多數副詞以及幾乎所有命題態度詞都是內涵性的，造成內涵語境，后者與外延語境構成對照。外延語境又叫透明語境，是經典邏輯的組合性原則、等值置換規則、同一性替換規則在其中適用的語境；內涵語境又稱晦暗語境，是上述規則在其中不適用的語境。相應于外延語境和內涵語境的區別，一切語言表達式（包括自然語言的名詞、動詞、形容詞直至語句）都可以區分為外延性的和內涵性的，前者是提供外延語境的表達式，后者是提供內涵性語境的表達式。例如，殺死、見到、擁抱、吻、砍、踢、打、與…下棋等都是外延性表達式，而知道、相信、認識、必然、可能、允許、禁止、過去、現在、未來等都是內涵性表達式。
在內涵語境中會出現一些復雜的情況。首先，對于個體詞項來說，關鍵性的東西是我們不僅必須考慮它們在現實世界中的外延，而且要考慮它們在其他可能世界中的外延。例如，由于“必然”是內涵性表達式，它提供內涵語境，因而下述推理是非有效的：
晨星必然是晨星，
晨星就是暮星，
所以，晨星必然是暮星。
這是因為：這個推理只考慮到“晨星”和“暮星”在現實世界中的外延，并沒有考慮到它們在每一個可能世界中的外延，我們完全可以設想一個可能世界，在其中“晨星”的外延不同于“暮星”的外延。因此，我們就不能利用同一性替換規則，由該推理的前提得出它的結論：“晨星必然是暮星”。其次，在內涵語境中，語言表達式不再以通常是它們的外延的東西作為外延，而以通常是它們的內涵的東西作為外延。以“達爾文相信人是從猿猴進化而來的”這個語句為例。這里，達爾文所相信的是“人是從猿猴進化而來的”所表達的思想，而不是它所指稱的真值，于是在這種情況下，“人是從猿猴進化而來的”所表達的思想（命題）就構成它的外延。再次，在內涵語境中，雖然適用于外延的函項性原則不再成立，但并不是非要拋棄不可，可以把它改述為新的形式：一復合表達式的外延是它出現于外延語境中的部分表達式的外延加上出現于內涵語境中的部分表達式的內涵的函項。這個新的組合性或函項性原則在內涵邏輯中成立。
一般而言，一個好的內涵邏輯至少應滿足兩個條件：（i）它必須能夠處理外延邏輯所能處理的問題；（ii）它還必須能夠處理外延邏輯所不能處理的難題。這就是說，它既不能與外延邏輯相矛盾，又要克服外延邏輯的局限。這樣的內涵邏輯目前正在發展中，并且已有初步輪廓。從術語上說，內涵邏輯除需要真、假、語句真值的同一和不同、集合或類、謂詞的同范圍或不同范圍等外延邏輯的術語之外，還需要同義、內涵的同一和差異、命題、屬性或概念這樣一些術語。廣而言之，可以把內涵邏輯看作是關于象“必然”、“可能”、“知道”、“相信”，“允許”、“禁止”等提供內涵語境的語句算子的一般邏輯。在這種廣義之下，模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、認知邏輯、問題邏輯等都是內涵邏輯。不過，還有一種狹義的內涵邏輯，它可以粗略定義如下：一個內涵邏輯是一個形式語言，其中包括（1）謂詞邏輯的算子、量詞和變元，這里的謂詞邏輯不必局限于一階謂詞邏輯，也可以是高階謂詞邏輯；（2）合式的λ—表達式，例如(λx)A，這里A是任一類型的表達式，x是任一類型的變元，(λx)A本身是一函項，它把變元x在其中取值的那種類型的對象映射到A所屬的那種類型上；（3）其他需要的模態的或內涵的算子，例如€，ù、ú。而一個內涵邏輯的解釋，則由下列要素組成：（1）一個可能世界的非空集W；（2）一個可能個體的非空集D；（3）一個賦值，它給系統內的表達式指派它們在每w∈W中的外延。對于任一的解釋Q和任一的世界w∈W，判定內涵邏輯系統中的任一表達式X相對于解釋Q在w∈W中的外延總是可能的。這樣的內涵邏輯系統有丘奇的LSD系統，R·蒙塔古的IL系統，以及E·N·扎爾塔的FIL系統等。[⑥]
在各種內涵邏輯中，認識論邏輯（epistemiclogic）具有重要意義。它有廣義和狹義之分。廣義的認識論邏輯研究與感知（perception）、知道、相信、斷定、理解、懷疑、問題和回答等相關的邏輯問題，包括問題邏輯、知道邏輯、相信邏輯、斷定邏輯等；狹義的認識論邏輯僅指知道和相信的邏輯，簡稱“認知邏輯”。馮·賴特在1951年提出了對“認知模態”的邏輯分析，這對建立認知邏輯具有極大的啟發作用。J·麥金西首先給出了一個關于“知道”的模態邏輯。A·帕普于1957年建立了一個基于6條規則的相信邏輯系統。J·亨迪卡于60年代出版的《知識和信念》一書是認知邏輯史上的重要著作，其中提出了一些認知邏輯的系統，并為其建立了基于“模型集”的語義學，后者是可能世界語義學的先導之一。當今的認知邏輯紛繁復雜，既不成熟也面臨許多難題。由于認知邏輯涉及認識論、心理學、語言學、計算機科學和人工智能等諸多領域，并且認知邏輯的應用技術，又稱關于知識的推理技術，正在成為計算機科學和人工智能的重要分支之一，因此認知邏輯在20世紀中后期成為國際邏輯學界的一個熱門研究方向。這一狀況在21世紀將得到繼續并進一步強化，在這方面有可能出現突破性的重要結果。
4．對自然語言的邏輯研究
對自然語言的邏輯研究有來自幾個不同領域的推動力。首先是計算機和人工智能的研究，人機對話和通訊、計算機的自然語言理解、知識表示和知識推理等課題，都需要對自然語言進行精細的邏輯分析，并且這種分析不能僅停留在句法層面，而且要深入到語義層面。其次是哲學特別是語言哲學，在20世紀哲學家們對語言表達式的意義問題傾注了異乎尋常的精力，發展了各種各樣的意義理論，如觀念論、指稱論、使用論、言語行為理論、真值條件論等等，以致有人說，關注意義成了20世紀哲學家的職業病。再次是語言學自身發展的需要，例如在研究自然語言的意義問題時，不能僅僅停留在脫離語境的抽象研究上面，而要結合使用語言的特定環境去研究，這導致了語義學、語用學、新修辭學等等發展。各個方面發展的成果可以總稱為“自然語言邏輯”，它力圖綜合后期維特根斯坦提倡的使用論，J·L·奧斯汀、J·L·塞爾等人發展的言語行為理論，以及P·格賴斯所創立的會話含義學說等成果，透過自然語言的指謂性和交際性去研究自然語言中的推理。
自然語言具有表達和交際兩種職能，其中交際職能是自然語言最重要的職能，是它的生命力之所在。而言語交際總是在一定的語言環境（簡稱語境）中進行的，語境有廣義和狹義之分。狹義的語境僅指一個語詞、一個句子出現的上下文。廣義的語境除了上下文之外，還包括該語詞或語句出現的整個社會歷史條件，如該語詞或語句出現的時間、地點、條件、講話的人（作者）、聽話的人（讀者）以及交際雙方所共同具有的背景知識，這里的背景知識包括交際雙方共同的信念和心理習慣，以及共同的知識和假定等等。這些語境因素對于自然語言的表達式（語詞、語句）的意義有著極其重要的影響，這具體表現在：（i）語境具有消除自然語言語詞的多義性、歧義性和模糊性的能力，具有嚴格規定語言表達式意義的能力。（ii）自然語言的句子常常包含指示代詞、人稱代詞、時間副詞等，要弄清楚這些句子的意義和內容，就要弄清楚這句話是誰說的、對誰說的、什么時候說的、什么地點說的、針對什么說的，等等，這只有在一定的語境中才能進行。依賴語境的其他類型的語句還有：包含著象“有些”和“每一個”這類量化表達式的句子的意義取決于依語境而定的論域，包含著象“大的”、“冷的”這類形容詞的句子的意義?【鲇諞烙錁扯ǖ南啾冉系畝韻罄啵荒L錁浜吞跫錁淶囊庖迦【鲇諞蠐錁扯浠撓鏌寰齠ㄒ蛩兀绱說鵲取＃╥ii）語言表達式的意義在語境中會出現一些重要的變化，以至偏離它通常所具有的意義（抽象意義），而產生一種新的意義即語用涵義。有人認為，一個語言表達式在它的具體語境中的意義，才是它的完全的真正的意義，一旦脫離開語境，它就只具有抽象的意義。語言的抽象意義和它的具體意義的關系，正象解剖了的死人肢體與活人肢體的關系一樣。邏輯應該去研究、理解、把握自然語言的具體意義，當然不是去研究某一個（或一組）特定的語句在某個特定語境中唯一無二的意義，而是專門研究確定自然語言具體意義的普遍原則。[⑦]超級秘書網
美國語言學家保羅·格賴斯把語言表達式在一定的交際語境中產生的一種不同于字面意義的特殊涵義，叫做“語用涵義”、“會話涵義”或“隱涵”（implicature），并于1975年提出了一組“交際合作原則”，包括一個總則和四組準則。總則的內容是：在你參與會話時，你要依據你所參與的談話交流的公認目的或方向，使你的會話貢獻符合這種需要。仿照康德把范疇區分為量、質、關系和方式四類，格賴斯提出了如下四組準則：
（1）數量準則：在交際過程中給出的信息量要適中。
a．給出所要求的信息量；
b．給出的信息量不要多于所要求的信息量。
（2）質量準則：力求講真話。
a．不說你認為假的東西，。
b．不說你缺少適當證據的東西。
（3）關聯準則：說話要與已定的交際目的相關聯。
（4）方式準則：說話要意思明確，表達清晰。
a．避免晦澀生僻的表達方式；
b．避免有歧義的表達方式；
c．說話要簡潔；
d．說話要有順序性。[⑧]
后來對這些原則提出了不和補充，例如有人還提出了交際過程中所要遵守的“禮貌原則”。只要把交際雙方遵守交際合作原則之類的語用規則作為基本前提，這些原則就可以用來確定和把握自然語言的具體意義（語用涵義）。實際上，一個語句p的語用涵義，就是聽話人在具體語境中根據語用規則由p得到的那個或那些語句。更具體地說，從說話人S說的話語p推出語用涵義q的一般過程是：
（i）S說了p；
（ii）沒有理由認為S不遵守準則，或至少S會遵守總的合作原則；
（iii）S說了p而又要遵守準則或總的合作原則，S必定想表達q；
（iv）S必然知道，談話雙方都清楚：如果S是合作的，必須假設q；
（v）S無法阻止聽話人H考慮q；
（vi）因此，S意圖讓H考慮q，并在說p時意味著q。
試舉二例：
（1）a站在熄火的汽車旁，b向a走來。a說：“我沒有汽油了。”b說：“前面拐角處有一個修車鋪。”這里a與b談話的目的是：a想得到汽油。根據關系準則，b說這句話是與a想得到汽油相關的，由此可知：b說這句話時隱涵著：“前面的修車鋪還在營業并且賣汽油。”
第4篇：命題邏輯的推理規則范文
關鍵詞：離散數學；基礎；學習
中圖分類號：G642 文獻標識碼：A
文章編號：1672-5913 (2007) 24-0062-03
1引言
“離散數學課程”是介紹“離散數學”各分支的基本概念、基本理論和基本研究方法、研究工具的基礎課程，現已成為計算機科學與技術專業的核心基礎課程，IEEE&ACM的CC2001教程更是以十分顯著的方式強調了這一點。離散數學課程所涉及的概念、方法和理論，大量地應用在"數字電路"、"編譯原理"、"數據結構"、"操作系統"、"數據庫系統"、"算法的分析與設計"、"軟件工程"、"人工智能"、"多媒體技術"、"計算機網絡"等專業課程以及"信息管理"、"信號處理"、"模式識別"、"數據加密"等相關課程中；它所提供的訓練，十分有益于學生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力的提高，十分有益于學生嚴謹、完整、規范的科學態度的培養。這些能力與態度是一切軟、硬件計算機科學工作者所不可缺少的。離散數學課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現在計算機科學技術及相關專業的諸領域，從科學計算到信息處理，從理論計算機科學到計算機應用技術，從計算機軟件到計算機硬件，從人工智能到分布式系統，無不與離散數學密切相關。
2離散數學的教學內容
由于計算機無論多么先進，都只能處理有限的離散數據，正因為如此，才使得離散數學和計算機有了莫大的聯系。那么，是不是所有研究離散結構的數學都歸于離散數學呢？基于各種原因，許多具有離散結構的數學，并不一定屬于離散數學。離散數學可以說是和計算機一起發展起來的學科，是一門新興的學科，對于究竟什么屬于離散數學，人們也沒有完全一致的看法。如同我們的教材，把數理邏輯、集合論、群論、圖論都歸為離散數學。另外，不少學者把組合學、計數、排列也歸為離散數學。其實，數學本一家，精確劃分沒有必要。但我認為，離散數學的核心應是組合數學和圖論。只可惜，我們的教材中幾乎沒有組合數學，這一點，實在是一大缺憾。
離散數學包括的教學內容，對每一個從事計算機技術的人都要求掌握和了解。因為在形式證明、驗證、密碼學的研究與學習中要有理解形式證明的能力；圖論的概念被用于計算機網絡、操作系統和程序設計語言的編譯系統等領域；集合論的概念、關系代數等在軟件工程和數據庫中也會用到。總之，為了適應計算技術的要求及將來的發展，學生需要對離散結構有比較深入的理解。
3離散數學的教學方法
離散數學作為一門計算機專業的核心基礎課，往往開設的比較早，所以很多同學在學習這門課的時侯還缺乏對其價值的認識。再加上對數學的敏感性，所以很排斥它。如何教好這門課，除了讓學生對這些內容感興趣外，還要讓他們對其在計算機中的應用有些感性認識。因此，在介紹離散數學的每一分支時，都要分三步走：
第一，先要了解這一分支的悠久歷史；
第二，學習它的基本概念、基本理論和基本研究方法；
第三，了解它在計算機科學中的應用。
(1) 各分支的悠久歷史
數學推理與邏輯之間，有著密切的聯系，早在兩千多年前的古希臘，就有了邏輯學的萌芽。不過那時的邏輯稱為古典邏輯，屬于哲學的范疇。數理邏輯誕生于十九世紀中葉，源于古典邏輯。
群論誕生于十九世紀二十年代，由法國天才數學家伽羅華創立。有趣的是，他創立群論的目的是為了解決高次方程求根問題，如果他知道群論與現代的計算機學科聯系如此緊密，一定會驚嘆不已。
圖論最早起源于一些數學游戲，相信對數學感興趣的同學一定都聽說過哥尼斯堡的七橋問題。圖論與幾何不同，幾何討論圖的長短大小，而圖論是討論圖的邊和頂點之間的位置關系，正因為如此，萊布尼茲把她稱為“位置幾何學”。圖論的問題非常有趣，往往答案很簡單，但卻非常非常難以想到。尤其是其分支拓撲學，更是如此。你知道九聯環也是圖論問題嗎？
集合論起源于十六世紀末期，開始是為了追尋微積分的堅實基礎，后來，德國的數學家康托教授發表了一系列有關集合論的文章，奠定了集合論的基礎，集合論也從此發展起來。現在，集合論已經滲透到泛函、概率、函數論等各門學科。
(2) 各分支的基本概念、基本理論和基本研究方法
數理邏輯又名符號邏輯，是一門用數學方法研究推理過程的科學。主要目的在于探索出一套完整的規則，按照這些規則，就可以確定任何特定論證是否有效。這些規則，通常稱為推理規則。在邏輯學中，與其說注重的是論證本身，不如說注重的是論證形式。
集合論主要研究了集合的基本概念和運算，關系的基本概念以及全序、偏序等概念，函數的定義與性質。重點研究了關系矩陣和關系圖的表示，關系的性質及判別方法；復合關系和逆關系的概念及其求法，關系的自反、對稱、傳遞閉包的概念及其求法；等價關系的判定與相關等價類的求法、偏序關系的判定以及哈斯圖的表示法。
代數系統部分需要了解代數系統以及同態、同構的概念，掌握代數系統運算的性質及各種特殊元素，幾種特殊代數系統的判定及其性質和簡單運算。
圖論部分了解有關圖的基本概念、圖的同構，掌握圖的表示方法，歐拉圖及哈密頓圖的判別方法，最小生成樹的求解方法。
(3) 各分支在計算機科學中的應用
數理邏輯的學習，可以在形式證明、驗證、密碼學的研究與學習中增強理解形式證明的能力；用關系代數、謂詞邏輯研究數據庫等。
集合論的概念、關系代數等在軟件工程和數據庫中也會用到。
圖論的概念被用于計算機網絡、操作系統和程序設計語言的編譯系統等領域；近期，還研究用圖論研究數據結構、操作系統的結構和死鎖問題。
在計算機發展初期，利用命題邏輯，布爾代數理論研究開關電路，從而建立起一門完整的數字邏輯理論，對計算機的邏輯設計起了很大作用。在近期，利用代數結構研究編碼理論，利用謂詞邏輯研究程序正確性問題，利用能行性理論(如遞歸函數論)研究計算機中的可計算性理論。
4離散數學的學習
作為計算機系的一門課程，離散數學有與其它課程相通相似的部分，當然也有它自身的特點，現在我們就這門課的特點做一個簡要的分析。
(1) 定義和定理多
離散數學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科。因而對概念的理解是我們學習這門學科的核心。在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯系，而描述這些聯系的實體則是大量的定理和性質。
離散數學的定義主要分布在集合論的關系和函數部分，還有代數系統的群、環、域、格和布爾代數中。一定要很好地識記和理解。
(2) 方法性強
離散數學的證明題中，方法性是非常強的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來，反之則事倍功半。所以在平常復習中，要善于總結，那么遇到比較陌生的題也可以游刃有余了。
(3) 有窮性
由于離散數學較為“呆板”，出新題比較困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化得來的。“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”因此，要學好離散數學，就應該在平時多做些題目，強化對知識的理解。
5 結束語
以上是我關于離散數學這門課的一點教學心得，幾輪的教學下來，我深深覺得我們要注意培養學生掌握獲取知識、科學研究和發現新知識三種方法。在傳授知識的過程中，要教會學生學習的方法和研究問題的方法，同時還要通過課內課外的各種教學活動來提高學生的能力，培養學生的素質。關于離散數學這門課程，可以讓學生完成離散數學在計算機科學中的應用的相關論文，內容選擇
• 可以是下列應用介紹之一:
C 群與編碼.
C 鴿籠原理(pigeonhole principle)
C 傳遞閉包和Warshall 算法
C 布爾代數和電路設計
C 圖和運輸網
C 半群與機器簡化
C 使用數論理論解釋公共密鑰技術(public key cryptography)
• 可以是離散數學難題, 如: 較難的思考題的解答
• 可以是與離散數學有關的趣味問題的考察
• 可以是任何您高興研究的離散數學相關問題
這樣，才能將僵化的知識與實踐結合起來，才能激發學生的創造力，從而使學生真正認識到它的重要意義。
Talk About Discrete mathematical Teach And Study
Abstract: This paper discusses the important of Discrete Mathematics mainly from there aspects: teaching methods
teaching content and how to study. Based on this, Author proposes combine knowledge and ability, stimulating students' interest in learning and improves student’s creativity.
Keyboard:Discrete mathematics, base, study
參考文獻
[1] 徐潔磐，惠永濤編著. 離散數學及其在計算機中的應用[M]. 北京：人民郵電出版社，1988.
[2] 徐潔磐. 離散數學導論[M]. 北京：人民教育出版社，1982.
[3] B.Kolman，R. C. Busby，S.C.Ross. Discrete Mathematical Structures, 4th[M]. 北京：高等教育出版社.
