前言：一篇好文章的誕生，需要你不斷地搜集資料、整理思路，本站小編為你收集了豐富的垂直與平行主題范文，僅供參考，歡迎閱讀并收藏。
一、教材分析
垂直與平行在現實生活中有著廣泛的應用，即便是兒童，也經常會接觸到一些關于垂直與平行的現象，教材充分利用了垂直與平行和日常生活的密切聯系，創設了較為豐富的，貼近兒童生活實際的情境，讓學生在熟悉的情境中感悟垂直與平行的現象，本節課主要是讓學生初步理解垂直與平行的含義，能夠準確判斷，旨在讓學生在生活的情境中發現這種現象，知道垂直與平行在我們生活中的重要作用。因此在教學中結合學生的生活實際和知識積累，從生活中學生感興趣的事物入手，通過“想象―合作―交流―質疑―自學―解惑―應用”的過程，力圖在教學過程中教學教給學生學習思考數學的方法，調動學生自己去合作、去自學、去判斷、去分析、去表達，讓學生在學習中親身體驗、理解與構建平行與垂直的概念，充分發揮學生的主動性，達到數學來源于生活并應用于生活的目的。
二、學情分析
垂直與平行是在學生認識了直線以及角的基礎上進行教學的，本課時的教學重點是認清互相平行與互相垂直的特征。學習中以學生的自主探索為主。力圖在教學過程中教學教給學生學習思考數學的方法，調動學生自己去合作、去自學、去判斷、去分析、去表達，促他們在學習中，親身體驗，理解與構建平行與垂直的概念。體會數學源于生活，運用數學知識解決問題的樂趣。
學生在日常生活中經常遇到或用到有關平行和垂直的知識和問題，學習這部分內容既可以在實際生活中應用，又能為今后系統地學習平行四邊形和梯形打下初步基礎，是對圖形的認識的再一次擴展。這部分知識的學習，可以擴大用數學解決實際問題的范圍，提高學生解決問題的能力；同時也使學生初步學會用圖形之間的位置關系進行表達和交流，進一步發展空間觀念，并為進一步系統學習空間與圖形做好鋪墊。
三、教學目標
1.讓學生結合生活情境，引導學生通過觀察、討論、感知生活中的垂直與平行的現象。
2.使學生通過探究活動知道在同一個平面內兩條直線存在著相交、平行的位置關系，掌握垂直、平行的概念。
3.培養學生的空間觀念及空間想象能力，引導學生合作探究的學習意識。
教學重難點：
1.正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，發展學生的空間想象能力。
2.相關現象的正確理解（尤其是對看似不相交，而實際上是相交現象的理解）。
情感、態度與價值觀：
1.培養學生想象能力，進一步提高學生的歸納、概括能力。
2.進一步認識和體會數學知識的重要用途，增強應用意識。
教具、學具準備：課件、水彩筆、尺子、三角板、量角器、小棒、白紙。
四、教學過程
一）設置情景，想象感知
1.導入：前面我們已經學習了直線，誰知道直線有什么特點？（指名回答）
今天咱們繼續學習直線的有關知識。
2.老師和同學們一樣都有這樣一張紙，大家來摸一摸這個平面。（學生活動）
師：我們一起來做個小的想象活動，想象一下把這個面變大會是什么樣子？
在這個無限大的平面上，出現了一條直線，又出現一條直線。你想象的這兩條直線的位置是怎樣的？
活動一：先用小棒擺一擺，看能擺出幾種不同的位置。
活動二：再用水彩筆把它們畫在紙上。
二）探索比較，掌握特征
（一）動手操作，建立表象
展示典型圖形，強化圖形表征。
1.展示學生的畫法。（用水彩筆畫在白紙上）
2.歸納，去掉重復的。
（二）小組合作，感知特征
1.歸納展示，把剛才幾個同學所展示的畫法進行歸納。（課件出示）
2.嘗試分類，把其中具有代表性的圖形通過電腦課件來展示，并編上序號，這些圖形，同學們能不能對它們進行分類呢？可以分成幾類？根據什么來分？
3.小組合作交流討論分類方法。
展示各種可能分類方法：
（1）分為兩類：交叉的一類，不交叉的一類；
（2）分為三類：交叉的一類，快要交叉的一類，不交叉的一類；
（3）分為四類：交叉的一類，快要交叉的一類，不交叉的一類，交叉成直角的一類。
4.質疑。
對于各小組的分類分法，有什么想法？引導學生側重按照“相交”和“不相交”的標準進行分類。
三）自主探究，構建新知
通過探索交流，我們發現了在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種不同情況：一種是相交，一種是不相交。
1.認識“平行”
（1）自學。像這樣不相交的兩條直線叫什么？請看書第65頁。
（2）質疑：互相是什么意思？“同一平面”是什么意思？出示實物幫助理解。
在學生討論的基礎上強調：判斷兩條直線是否是平行時，“在同一個平面內”“不相交”這兩個條件缺一不可。
（3）舉例：請學生說一說在我們的身邊有哪些物體的邊是互相平行的？
2.自學認識“垂線”
導語：剛才我們已經把同一平面內不相交的兩條直線叫作平行線，那平面內相交的兩條直線的關系中又有特殊的關系？
（1）自學，閱讀書本P65頁的內容，思考：①互相垂直的兩條直線有什么特征？②怎樣判斷兩條直線互相垂直？③你還掌握了哪些知識？
（2）小組合作交流。垂直的含義、判斷方法、各部分名稱。
（3）歸納。如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。這兩條直線的交點就是垂足。
（4）舉例，請學生說一說在我們的身邊有哪些物體的邊是互相垂直的？
3.揭示課題。通過學習，你們知道了什么？板書課題：垂直與平行。
4.找一找：你的身邊有些哪些物體的邊是互相垂直的？哪些物體的邊是互相平行的？把你的發現告訴同組的同學。
四）鞏固拓展，運用新知
1.完成書P65頁第2題：擺一擺、說一說你有什么發現？（與同一條直線垂直的兩條直線互相平行、與同一條直線平行的兩條直線互相平行。）
2.判斷題
（1）不相交的兩條直線叫作平行線。
（2）在同一平面內的兩條直線叫作平行線。
（3）在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線。
3.折一折
（1）剛才同學們通過“找一找”“擺一擺”對平行和垂直有了進一步的認識，也找到了生活中很多的平行線與垂線，那要是給每個同學一張這樣的不規則紙，你們能動手折一折，折出垂線與平行線？這可有一定難度，愿意接受挑戰嗎？
（2）學生動手折垂線，教師巡視，進行個別指導。
（3）展示學生作業。
關鍵詞：垂直升降；運動仿真；有限元；結構優化
引言：料車是一種在各種工業用爐前對物料進行搬運的專用設備，它可以實現對需處理物料的轉運、裝爐和出爐等功能。料車垂直起升機構主要用以完成加料小車的垂直升降功能，是料車各組成部分中最關鍵的部分。
圖1平行四桿垂直起升機構簡圖
平行四桿垂直起升機構簡圖如圖1所示，起升搖臂的下部與機架在O1處鉸接，其上部在B點與液壓缸的活塞桿鉸接，其中部與拉桿的左端在A點鉸接；拉桿的右端與起升連桿的上部鉸接，并在C點通過滾輪與導向槽板形成滾輪滑塊機構；導向槽板的右端與機架在D點形成滾輪滑塊機構；液壓缸、起升連桿的下部均與機架鉸接。
平行四桿垂直起升機構工作時，由液壓缸形成原動力，推動起升搖臂繞O1點逆時針旋轉，并通過鉸接的A點帶動拉桿向左移動，拉桿帶動起升連桿繞著O2點逆時針旋轉，并通過C點的滾輪迫使其上部的導向槽板產生左上方的斜向移動趨勢，右端的滾輪滑塊機構用于消除導向槽板的水平移動。此時導向槽板即可帶動固定其上部的重物在垂直方向上平移，以實現垂直起升目的。
一、建模與動力學仿真
利用Solidworks建立平行四桿垂直起升機構的三維模型，為了便于仿真，在不影響仿真結果的前提下將中部的起升連桿部分進行了簡化，且右端滑塊機構也使用配合功能以于實現，圖2中只給出部分模型。這樣既可減少仿真模型中零、部件數量，提高仿真效率，也可減少仿真時的冗余自由度[1]。
圖2平行四桿垂直起升機構模型
用Solidworks Motion中的配合和馬達功能，使每個零件的位置、速度、加速度等參數在各時間點都完全確定，確保沒有冗余自由度和欠約束的存在。
計算參數：載荷39730Kg（包括載荷重量和自重），仿真時間37.5s，步長為25步，用線性馬達模擬液壓缸，其行程為534mm，垂直起升高度100mm。經過仿真，得到起升搖臂中部（A點）所受作用力圖解，如圖3所示：
圖3起升搖臂中部（A點）作用力
由圖1分析得到，隨著液壓缸的不斷伸長，使得起升連桿繞其下部的機架O2點逆時針旋轉，在其上空套的滾輪與導向槽板上的導向槽間的壓力角也隨時間不斷地變化，其值呈逐漸變小的趨勢，由于起升連桿處的壓力角逐漸變化，會使得滾輪處的垂直分力逐漸增大，水平分力逐漸減小。
由圖3知，起升搖臂中部（A點）的作用力隨時間的推移而逐步減小，最大值出現在仿真的開始時刻，其值為38049.3Kg，其它時刻均小于初始值，變化規律與理論分析結果相同。
二、有限元仿真
將起升搖臂分離，并考慮起升搖臂的對稱性，本次仿真僅采用單個起升搖臂側板進行分析（其參數見圖4）。考慮到有限元仿真精度及效率，將起升搖臂側板上的圓角簡化，并對應力較大部位運用局部網格控制功能細化網格，離散單元選擇二階實體單元，并且選擇基于曲率的網格功能，這樣可有效協調仿真精度和有限元模型的規模。
圖 4 起升搖臂側板結構簡圖
起升搖臂側板采用Q345-B[2]制造而成，其屈服強度σs≥345Mpa，抗拉強度σb≥520Mpa，泊松比0.3，密度7.85×103 kg/m3，質量為46.9Kg。
起升搖臂側板主要承受來自液壓缸、機架和中部拉桿的載荷作用，所以起升搖臂側板兩端軸承孔分別采用固定鉸鏈進行約束；并選取起升搖臂側板中部軸承孔加載平行于水平方的向軸承載荷，用以模擬拉桿載荷，其大小為195246.5N（共有兩個起升搖臂側板380493N/2）。但考慮到偏載和液壓缸不同步等因素的影響，在起升搖臂側板側面中部的凸臺上加載63415.5N（380493N/6）的側向載荷，方向垂直于起升搖臂側板。經過仿真，得到應力圖解與位移圖解如圖5、圖6所示：
圖5 起升搖臂側板應力圖解 圖6 起升搖臂側板位移圖解
由圖5 可知，起升搖臂側板的最大von mises為19MPa，安全系數達18.1；從位移圖解（圖6）可以看出，起升搖臂側板最大位移發生在起升搖臂側板的中部，其值為0.376mm。從對起升搖臂側板分析結果可以看出，無論是強度與剛度，都存在較大的富裕量，有必要進一步對其結構進行優化。
三、優化設計
在不改變起升搖臂側板接口的前提下，為實現即滿足強度要求且重量最輕的目的，采用Solidworks中集成的結構優化功能[3]對起升搖臂側板的結構進行優化。經過多次驗算，選擇起升搖臂側板端部圓弧x1、中部圓弧尺寸x2和壁厚x3為設計變量（見圖4），各變量的取值范圍分別為：80≤x1≤60、110≤x2≤90、40≤x3≤26。選取起升搖臂側板的最大von mises和最大位移為約束條件，安全系數≥5（345/5=69MPa）。并選取起升搖臂側板的質量為優化目標，進行優化。起升搖臂側板優化前后變量、約束和目標等相關數據對比如表1所示：
由表1知，優化后起升搖臂側板的端部圓弧x1、中部圓弧尺寸x2和壁厚x3尺寸均有不同程度的減小。并且可知，最大von mises由19MPa增大到31MPa，最大位移由0.38mm增大到0.91mm，完全滿足實際使用要求。
優化后起升搖臂的質量由46.9Kg下降到27.2Kg，減輕了19.7Kg，材料的質量比優化前減輕了42%。優化結果表明對減輕起升搖臂側板的質量、節約材料有明顯效果。
四、結論
（1）本文采用Solidworks Motion對料車的垂直起升機構進行了運動仿真，得到起升搖臂的作用力圖解，并運用有限元仿真出起升搖臂側板在極限載荷下的應力分布情況。
（2）在有限元仿真的基礎上，對起升搖臂側板進行了優化，優化后的起升搖臂側板性能更加趨于合理，整體質量減輕了19.7Kg，降低了42%，降低了原料消耗及生產成本，并為生產提供了科學的指導。
參考文獻：
[1] 陳超祥，胡其登.主編 杭州新迪數字工程系統有限公司，編譯.Solidworks Motion 2012 運動仿真教程 [M].北京：機械工業出版社，2012.8.144
[2] 機械設計手冊（軟件版2.0）
[3] 陳超祥，胡其登.主編 杭州新迪數字工程系統有限公司，編譯.Solidworks Simultion 2011高級教程[M].北京：機械工業出版社，2011.4.132
關鍵詞 蘋果 品種 紅富士 郁閉園 樹形改造 垂枝修剪
沂源縣地處魯中腹地，海拔高，紫外線強，光照充足，晝夜溫差大，具有發展蘋果得天獨厚的自然條件，是山東省蘋果重點產區之一。但是，沂源縣人多地少，蘋果園面積擴展的潛力已經不大，并且在蘋果生產中成齡果園郁閉嚴重、通風透光差，嚴重影響了蘋果產量和質量的進一步提高。為此，我們在紅富士蘋果郁閉園樹形改造中進行了垂枝修剪技術試驗，充分利用了蘋果樹長枝緩放后易成花、果臺副梢連續結果能力強的特點，增加結果部位，達到提高產量的目的；同時調整了蘋果枝條生長方向，果實著色環境得到改善，從而使全紅果率大幅度提高。
1 材料與方法
1.1試驗基本情況
試驗在沂源縣燕崖鎮中輝村進行，試材為13年生紅富士蘋果樹，平地果園，棕壤，土壤肥力中等，樹勢偏旺，管理一般，栽植行株距4m×3m，樹高3.5～4m，冠幅4m左右。選用2670m2同一塊地的紅富士蘋果樹進行對比試驗，其中1335m2是紡錘形樹形，1335m2是疏散分層形樹形，以667m2紡錘形蘋果樹和667m2疏散分層形的蘋果樹作為試驗樹，采用垂枝修剪方法進行樹形改造，剩余的紡錘形和疏散分層形蘋果樹采用常規方法修剪，分別作為對照。2006-2011年對處理和對照果園的產量、產值、果實品質、生產成本、收益和樹體主要生長情況進行調查。歷年產量調查均采用實測產量方法準確稱重；果實品質調查項目主要包括全紅果、直徑80mm以上果實所占比率等，并按等級標準計算優質果率；樹體主要生長情況調查項目包括樹冠覆蓋率、樹冠體積、葉面積系數、枝類比、667m2枝量等。
1.2垂枝修剪方法的技術要點
郁閉園冬季修剪時逐年疏除基部主枝，將主干提高到80cm；樹體上部落頭開心，保留中心干3m以下的主枝；提干落頭后每株樹保留6～7個主枝，將原有的疏散分層形和紡錘形樹形改造成雙層開心形。改造樹形的同時疏除重疊枝；保留的主枝逐年去除大側枝，疏除病殘枝，回縮細弱枝。縮小冠幅，在主枝斜下垂枝處回縮，使行間有1m左右的作業道。翌年秋季對60cm以上1～2年生長枝拿枝、拉枝，或用鐵絲自制“W”形彎枝器別枝（別枝后第2年5月底6月初解除），將直立、斜生或水平生長的長枝均拉至下垂。拉枝、緩放后的長枝易萌發短枝，在營養充足的情況下當年即可形成花芽，第2年便可結果，沒有形成花芽的短枝，只要枝軸比不超過3：1，可繼續緩放，促進成花。對于拉枝后冒出的競爭枝，有空間的可以擰枝緩放，沒有空間的可直接疏除。長枝結果后可利用果臺副梢連續結果，但下垂結果枝組過長或果臺副梢過于細弱時及時回縮復壯。同時，對背上徒長枝、競爭枝進行拉枝，培養更新下垂結果枝組。
2 結果與分析
2.1垂枝修剪蘋果園的產量、果實品質和收益
試驗結果表明，樹形改造后第1年（2006年），蘋果郁閉園667m2產量有較大幅度的降低，但改造后第2年就超越了樹形改造前的產量，樹形改造后6年（2006-2011年）平均每667m2產量6565kg，明顯超過樹形改造前（2005年）和未采用樹形改造的疏敞分層形、紡錘形蘋果樹6年平均每667m2產量，增產效果非常明顯（表1）。
垂枝修剪蘋果園生產的紅富士蘋果，直徑80mm以上果實所占比率平均為90.1%，全紅果率平均為86.0%，優質果率平均為85.6%，果形指數平均為0.96，以上各項指標均明顯超過未進行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果樹（對照）生產的果實。垂枝修剪蘋果園生產的紅富士蘋果，可溶性固形物含量略低于2個對照（表2）。
由于垂枝修剪蘋果園果實品質優于未進行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果園，其平均售價也有一定的提高。據調查，垂枝剪修試驗6年的平均售價為3.6元/kg，比未進行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果樹高0.20元；6年平均每667m2產量為6565kg，分別比未進行樹形改造的疏散分層形和紡錘形蘋果樹增產3285、3105kg，減除各自的生產成本后，垂枝修剪蘋果樹6年平均每667m2收益為17074元，而疏散分層形和紡錘形蘋果樹收益分別為7832、8329元（表3）。
2.2垂枝修剪蘋果園的樹體結構
紅富士蘋果郁閉園經樹形改造和垂枝修剪后，樹體高度適中，便于套袋、采收、修剪作業；冠幅變小，行間通暢，便于打藥、運輸、施肥，成花率和全紅果率明顯提高；覆蓋率中等，利于通風透光；樹冠體積中等，產量高但不郁閉；葉面積系數偏大，但絕大多數枝條向下生長，葉片光合作用正常，對著色無負面影響；單位面積枝量大，但短枝比率高；從生長和結果狀況看，只要加強管理，果園整齊度比其他樹形好。試驗結束時垂枝修剪和未經樹體改造郁閉蘋果園樹體結構的調查結果見表4。
3 小結
垂枝修剪技術充分利用蘋果樹長枝緩放后易成花、果臺副梢連續結果能力強的特點，增加結果部位，改善果實著色環境，有利于提高郁閉蘋果園改造后的產量、果實品質和收益，是郁閉蘋果園樹形改造的良好配套措施。該項技術簡便易行，可在生產中大面積推廣應用。
正確理解“相交”“互相平行”“互相垂直”“平行線”“垂線”等概念，發展學生的空間想象能力是本課教學的重點；正確判斷同一平面內兩條直線之間的位置關系是教學的難點。本課教學尊重學生的認知規律，力求學生通過多種學習方式學習同一平面內兩條直線的垂直與平行的空間位置關系知識，引導學生通過觀察、討論、感知生活中垂直與平行的現象；幫助學生初步理解垂直與平行是同一平面內兩條直線的兩種位置關系，初步認識垂線和平行線；培養學生的空間概念及空間想象能力，培養學生具有合作探究的學習意識。
一、 創設情景、感知想象
1.前面我們已經學習了直線，那大家還記得直線有什么特征嗎？
2.老師這兒有一張白紙，把這張白紙當成一個平面，如果這個平面無限擴大，閉上眼睛想象一下，它會是什么樣的？在這個無限大的平面上，出現了一條直線，接著又出現了另一條直線，想一想這兩條直線的位置是怎樣的？
讓學生動手在三張白紙上畫，一張白紙上畫一種情況，用水彩筆和直尺畫。
評析：先讓學生回顧舊的知識點并想象在一個大的平面上出現兩條直線，這樣不僅能讓學生感知空間想象，還讓學生思考這兩條直線有怎樣的位置關系；然后讓學生動手在白紙上畫出具體的直線，使學生能直觀地感知兩條直線的位置關系。
二、 自主探索，構建新知
1.提出問題
（1） 畫好了嗎？同桌兩人一小組討論：說一說你所畫的兩條直線的位置是怎樣的？
（2）有哪個小組想把你所畫的直線展示給大家看呢？
展示到黑板上，并標上號：
評析：這一步先讓學生獨立思考，再在小組中交流，然后選出有代表性的情況，展示到黑板上，其他小組互相補充，使學生經歷了一個從個人――小組――全班的逐層遞進的過程，同時為學生自主分類提供了豐富的信息資源。
2.觀察分類，講授新課
師：仔細觀察這6種情況中兩條直線的位置關系，能把它們分類嗎？想好后和同桌交流。
學生匯報：生1：1和2、3和5、4和6分三類。
生2：1和2一類，3、4、5、6一類。
在學生說到交叉的分為一類時，告知學生交叉在數學上叫做相交。
板書：相交
針對學生的不同分類，引發學生的爭議，在爭議中統一意見，大致按相交、不相交分為兩類。
板書：不相交
3.提問：4號為什么要放到相交的這一類？
提醒學生直線有什么特征，并讓學生進行延長，最后證實4號看起來不相交，延長后會相交，因此4號要歸為相交的一類。
評析：這一步讓學生在自主探索與交流的過程中達成分類的共識，即相交的一類，不相交的一類。發展了學生的空間想象能力，讓學生在自主探索、交流、辨析、求證的過程中順其自然地發現在同一平面內兩條直線的兩種位置關系。
4.認識平行線
（1）觀察、體會平行線的特點
師：1、2號看起來不相交，會不會延長也相交呢？
先讓學生動手延長兩條直線看是否會相交，再課件演示兩條直線不管怎樣延長，永遠都不會相交的動態過程。
師：（課件演示）老師展示把1號放在方格子上，發現兩條直線之間的距離是怎樣的？
生1：兩條直線之間的距離處處相等。
小結：像這種位置關系的兩條直線在數學上叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。
板書：平行線。
（2）平行線的含義
師：為什么要加上“互相”呢？
小結：要說互相平行是因為平行線至少需要2條直線。
師：能說一條直線是平行線嗎？
[a][b]
直線a是直線b的平行線
直線b是直線a的平行線
直線a和直線b互相平行
師：同學們，平行的現象在生活中隨處可見，請同學們舉例說說身邊的平行現象吧。
（3）認識垂直
師：兩條直線相交會形成什么呢？
生：角。
師：在這些角中有什么角最特殊呢？
生1：因為它們都是十字形的。
生2：它們都有四個直角。
（4）揭示垂直的定義
師：像這樣兩條直線相交成直角在數學上叫做互相垂直。
大屏幕出示：如果兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫做垂足。
[c][d]
直線c是直線d的垂線
直線d是直線c的垂線
直線c和直線d互相垂直
師：同學們舉例身邊垂直的現象嗎？
小結：今天這節課我們認識了在同一平面內兩條直線特殊的位置。關系：垂直與平行（板書課題）
評析：在觀察、比較、驗證的學習過程中，深刻體驗平行與垂直的特征，并通過舉例身邊的平行與垂直的現象來直接考查學生對平行與垂直的知識點的掌握程度。
（5）課件出示以下長方體：找找長方體中互相平行和互相垂直的現象。（重點讓學生理解直線a是平面1的直線，直線b是平面2的直線，雖然它們不相交，但也不能說它們互相平行）
[a][b]
評析：這一步讓學生在充分觀察、想象、驗證、自學提問的學習過程中，深刻體驗平行與垂直的特征，深刻理解了同一平面的含義，同時培養了學生科學嚴謹的學習態度和自學能力，也發展了學生的空間觀察。
三、鞏固拓展，加深認識
闖關游戲：
第一關：小試牛刀：判斷下列各組是否互相平行，互相垂直、相交，還是什么都不是。
第二關：擺一擺
（1）把兩根紅色小棒都擺成和綠色小棒平行，看一看，這兩根紅色小棒互相平行嗎？
（2）把兩根紅色小棒都擺成和綠色小棒垂直，看一看這兩根紅色小棒有什么關系？
第三關：考考你，對的打√，錯的打×。
（1）在同一平面內，只要兩條直線相交成90°，這兩條直線就互相垂直。（ √ ）
（2）兩條直線相交，那么這兩條直線互相垂直。（ × ）
（3）兩條平行線間的距離處處相等。（ √ ）
（4）在同一平面內兩條直線不垂直就一定平行。
（ × ）
（5）不相交的兩條直線叫做平行線 。（ × ）
評析：本環節的練習主要是讓學生加深理解相交、互相平行、互相垂直的特征，并能對今天所學的知識進行自我檢測。
四、全課總結
同學們，通過這節課的學習，你們有什么收獲？你們覺得自己表現如何？
評析：這樣用談話的方式進行總結，不僅總結了所學的知識、技能，更重要的是給了學生一次評價的機會，讓他們通過自評、互評初步學會評價，實現了課堂評價主體的多元化。
[在同一個面內
1.平面；平面的基本性質；平面圖形直觀圖的畫法.
2.兩條直線的位置關系；平行公理；等角定理；異面直線所成的角；兩條異面直線互相垂直的概念.
3.直線和平面的位置關系；直線和平面平行的判定與性質；直線和平面垂直的判定與性質；點到平面的距離；斜線在平面上的射影.
4.兩個平面的位置關系；平面平行的判定與性質；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個平面垂直的判定與性質.
5.（理科）空間向量共線、共面的充分必要條件，空間向量的加法、減法及數乘運算，空間向量的坐標表示，空間向量的數量積，空間向量的共線與垂直，直線的方向向量與平面的法向量，利用空間向量求立體幾何中的角.
二、考試要求
1.掌握平面的基本性質，空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關系（特別是平行和垂直關系）.
2.能運用上述概念以及有關兩條直線、直線和平面、兩個平面的平行和垂直關系的性質與判定，進行論證和解決有關問題.對于異面直線上兩點的距離公式不要求記憶.
3.會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形（特別是正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形）的直觀圖.能夠畫出空間兩條直線、兩個平面、直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想象它們的位置關系.
4.（理科）會用空間向量計算線線角，線面角，面面角.
三、考點簡析
1.空間元素的位置關系
空間由點，線，面3個元素構成，立體幾何主要研究線和線，點和面，線和面，面和面之間的關系.
兩條直線關系包括相交，平行，異面；直線和平面之間的關系包括線在面內，線面相交（包括斜交和垂直），線面平行；面面關系包括面面相交（包括斜交和垂直），面面平行.
2.平行、垂直位置關系的轉化
立體幾何中的證明只要圍繞著平行和垂直展開.線線平行，線面平行，面面平行證明是相互依賴的，線線垂直，線面垂直，面面垂直也是相互依賴.需要對每一種關系的判定定理和性質定理充分理解，證明過程中，需要列出相應的條件，得出結論.
為解決上述問題，搞好立體幾何的復習，要激活點、線、面之間的三個關系，厘清直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行與垂直的判定和性質，快速、簡捷地求解立體幾何試題.
一、理解三個關系，掌握十四個定理
空間的直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關系主要有三個關系，十四個定理或性質.
三個關系：平行的傳遞關系，垂直的傳遞關系，平行與垂直的轉化關系，所有位置關系的基礎是線線之間的平行與垂直.它們通過下面的十四定理進行傳遞或轉化，由線線線面面面的位置關系常用的是判定定理，反之，由面面線面線線的位置關系常用的是性質定理，它們之間的關系如下圖所示.
說明：（1）圖中的定理①②③④⑤是平行與垂直的判定定理；定理⑧⑨⑩是平行與垂直的性質或一些位置關系的性質定理，它們之間是平行、垂直關系的直接傳遞關系；定理⑥⑦是平行與垂直的轉化關系，平行轉化為判定垂直或由垂直轉化為推出平行.
（2）凡是箭頭指向某一位置關系，就是證明或判斷這個位置關系的一個方法，有幾個箭頭指向這個位置關系，就有證明判定這個位置關系的幾個方法.一般拿到一個證明或判定位置關系的題目，對照關系圖，方法和思路很快就能找到.
（3）十四個定理附錄如下：
定理①：直線和平面平行的判定定理；
定理②：平面與平面平行的判定定理；
定理③：定理②的推論；
定理④：直線與平面垂直的判定定理；
定理⑤：平面與平面垂直的判定定理；
定理⑥：兩條平行線的一條垂直一個平面（直線），那么另一條也垂直這個平面（直線）；
定理⑦：垂直于同一條直線的兩個平面平行；
定理⑧：兩個平面互相平行，那么在一個平面的任何一條直線都平行另一個平面；
定理⑨：直線與平面平行的性質定理；
定理⑩：平面與平面平行的性質定理；
定理：平面與平面垂直的性質定理；
定理：由線面垂直的定義推出的性質，若線面垂直，則線線垂直；
定理：一條直線（平面）垂直兩個平行平面的一個平面，那么它也垂直另一個平面；
定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.
所有這些位置關系中，線線關系是一切位置關系的基礎.要得到直線與直線的平行，如在同一平面中，由平面幾何中的定理來推出，在空間、有公理4和圖表中的定理⑨、⑩、都可以得到.要得到直線與直線垂直，一是由兩直線成角90°，則兩直線垂直，二是由定理可堆出，三是三垂線定理或三垂線定理的逆定理（適用理科）都可以推出直線與直線的垂直.
二、激活三個關系，簡解立幾問題
立體幾何中的位置關系的判定或證明，根據求證想判定的條件，再根據已知想性質，從而找到判定的條件，如果從性質中不能直接找到判定的條件，就需要添加輔助元素，架起已知和求證之間的橋梁，或者運用曾經學過的知識幫助解決，只要激活三個關系，就可以快速簡捷地求解決立體幾何問題.例如，要求證線面平行，根據關系圖，只有兩種方法，一是用定理①，找平面外的一條直線和平面內的一條直線平行；二是用定理⑧，若無法找到直線和平面內的一條直線平行，那就根據已知條件先證兩個平面平行，再推出線面平行.又如，證明平面與平面垂直，只有一種方法，就是用定理⑤，在一個平面內找到一條直線垂直另一個平面即可.（說明一下，本文涉及位置關系的證明，一般沒有包括用有關定義來證明）所以要證有關問題，首先在關系圖中找到證明的幾種方法，然后根據已知條件確定用一種或兩種方法完成證明.凡是要證明一個位置關系，判定的條件一個也不能少，少一個條件就得不到正確的結果.
例1（2013年廣東卷）設l為直線，α，β為兩個不同的平面，下列命題中正確是（）.
（A）若l∥α，l∥β，則α∥β
（B）若lα，lβ，則α∥β
（C）若lα，l∥β，則α∥β
（D）若αβ，l∥α，則lβ
分析：本題主要考查線面位置關系的基本知識，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.
解：由于題目是四選一的選擇題，而且題中的位置關系較多，若一個一個地推理判斷，費時費力收效甚微.拿起關系圖，對照有關位置關系，凡是符合定理的，一定正確.選項B符合定理⑦，B正確，故選B.
例2若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中不正確的是（）.
（A）若α∥β，mα，則mβ
（B）若m∥n，mα，則nα
（C）若m∥α，mβ，則αβ
（D）若α∩β=n，且n與α，β所成的角相等，則mn
分析：判斷直線與平面，平面與平面的位置關系是否正確，最快速有效的辦法是看它是否符合有關位置關系的定理；要否定一個位置關系常用特例或反例即可.
解：根據本文給出的位置關系圖，由定理可知，選項A正確；由定理⑥可知，選項B正確；對于選項C，則需要聯合運用有關定理才能判斷，首先由定理⑨知，α內有直線m′∥m，其次由定理⑥知，m′β，最后由定理⑤判定αβ，所以選項C正確，由此可知選項D不正確，故選D.要判定選項D不正確也可用特例，當m∥n時，n∥α，n∥β，則直線n與α，β所成的角都是0°，也相等，但m，n不垂直，D不正確.
說明：熟練掌握空間直線、平面位置關系的定理，是正確判定各種位置關系的有效、快捷的方法.
例3（2013年北京卷）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別圖1為CD和PC的中點，求證：
（Ⅰ）PA底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF平面PCD.
分析：本題三個小題分別求證線面垂直，線面平行、面面垂直這三個重要位置關系，意在考查考生的空間想象力和推理論證能力.利用關系圖，尋找證題方法和思路，由面面垂直的性質定理可得線面垂直；由定理①知，只要在平面PAD中找一條直線和BE平行，或由定理⑧只要證得平面BEF∥平面PAD，即得BE∥平面PAD；由定理⑤知，只要在一個平面內找到一條直線垂直另一個平面，問題就解決了.
證明：（Ⅰ）平面PAD平面ABCD，PAAD，AD=平面PAD∩平面ABCD，PA平面ABCD.
（Ⅱ）AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中點，
AB=DE，且AB∥DE，
四邊形ABED為平行四邊形.
BE∥AD.
又AD平面PAD，BE平面PAD，
BE∥平面PAD.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，PA平面ABCD，且CD平面ABCD，PACD.
由（Ⅱ）知，BE∥AD，又AB∥CD，ABAD，CDAD，BECD.
又AD∩PA=A，CD平面PAD.
PD平面PAD，CDPD.
E，F分別為CD，PC的中點，
EF∥PD.
EFCD.
EF∩BE=E，CD平面BEF.
又CD平面PCD，
平面BEF平面PCD.
例4（2013年廣東卷）如圖2，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AD=AE，F是BC邊的中點，AF與DE交于點G.將ABF沿AF折起，得到如圖3所示的三棱錐A-BCF，其中BC=1212.
（Ⅰ）證明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）證明：CF平面ABF；
（Ⅲ）當AD=213時，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.
分析：本題主要考查線面平行和線面垂直，利用關系圖，可用定理①和定理⑧證DE∥平面BCF；用定理④證CF平面ABF.至于求三棱錐的體積只要找到相應的底面積和高，代入公式計算即可.
解：（Ⅰ）證明：在等邊ABC中，AB=AC，AD=AE，AD1DB=AE1BC，
DE∥BC，DG∥BF，GE∥CF.
將ABF沿AF折起后，如圖3，仍有DG∥BF，且DG平面BCF，BF平面BCF，
DG∥平面BCF.
同理GE∥平面BCF.
又DG∩GE=E，
平面DGE∥平面BCF.
DE平面DGE，DE∥平面BCF.
（Ⅱ）證明：在等邊ABC中，F是BC的中點，AFCF，BF=FC=112.
在圖3中，BC=1212，
BF2+CF2=BC2，故∠BCF=90°.
CFBF.
又AF∩BF=F，CF平面ABF.
（Ⅲ）AD=213，AB=1，AF=1312，
DB=113，FG=113AF=1316.
DG=GE=213BF=113，且DGAF.
在圖3中，DGF是直角三角形.
SDGF=112FG?DG=13136.
CF平面ABF，GE∥CF，
GE平面ABF.
GE為三棱錐E-DGF的高.
VF-DEG=VE-DGF=113SDGF?GE
【例1】（本題滿分14分）（2011•江蘇卷第16題）如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點.
求證：（1） 直線EF∥平面PCD；
（2） 平面BEF平面PAD.
錯解證明：(1) 在PAD中，E,F分別是AP,AD的中點，
EF∥PD，2分
直線EF∥平面PCD.（定理條件不全，不給分）
(2) 連接BD.AB=AD，∠BAD=60°，
ABD為等邊三角形.
F是AD的中點，
BFAD.4分
平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，
BF平面PAD.（定理條件不全，不給分）
平面BEF平面PAD.（定理條件不全，不給分）
錯因分析使用定理時條件不齊全而失去該得分步驟的所以得分。第一問中，線面平行的判定定理條件有3個，該考生只寫了1個，漏寫“EF平面PCD，PD平面PCD”；同理，在第二問中使用面面垂直的性質定理時漏寫“平面PAD∩平面ABCD=AD”、使用面面垂直的判定定理時，漏寫“BF平面BEF”。
正確解法證明：(1) 在PAD中，E,F分別是AP,AD的中點，
EF∥PD，2分
又EF平面PCD，PD平面PCD，
直線EF∥平面PCD.6分
(2) 連接BD.AB=AD，∠BAD=60°，
ABD為等邊三角形.
F是AD的中點，
BFAD.8分
平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，
BF平面PAD.12分
又BF平面BEF，
平面BEF平面PAD.14分
防錯機制（1） 線面位置關系中線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直各有自己的判定定理及性質定理，同學們要理解熟記每一個定理各自所需的條件，在解題過程中書寫規范，使用定理時條件充足，正所謂“一個也不能少”。
（2） 平時養成嚴謹答題的好習慣，不要因趕時間而跳步驟，染上壞習慣后很難改正。
【例2】（本題滿分8分）兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.
錯解過M作MG∥BC交AB于G(如圖),連接NG.
MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE.
MG∥平面BCE.2分
又正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
BGGA=CMMA=BNNF，GN∥AF.3分
而AF∥平面BCE,
GN∥平面BCE.(此處用了沒有的錯誤的“定理”)
MG∩GN=G,平面MNG∥平面BCE.
又MN平面MNG,
MN∥平面BCE.
錯因分析本類題主要考查空間中線面位置關系（平行）的判定，是每年高考不可避免的考查內容。上述解法的錯誤在于他使用了自己創造發明的“定理”：a∥b,b∥αa∥α。而線面平行沒有傳遞性，即平行線中的一條平行于一平面，另一條不一定平行該平面；
有的考生由“MG∥BC，GN∥BE平面MNG∥平面BCE”,這種做法也會失分的。因為面面平行的判定定理是由線面平行推到面面平行，而這種做法是由線線平行直接得到面面平行，會因判定定理使用不對而失去本步驟的分數。
正確解法過M作MG∥BC交AB于G(如圖),連接NG.
MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE，
MG∥平面BCE.2分
又正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
BGGA=CMMA=BNNF，
GN∥AF∥BE.3分
BE平面BCE，GN平面BCE，
GN∥平面BCE.5分
MG∩GN=G,
平面MNG∥平面BCE.7分
又MN平面MNG，
MN∥平面BCE.8分
注：本題亦可用線線平行推出線面平行.
防錯機制一要熟練掌握所有判定與性質定理，梳理好幾種位置關系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構造線線平行，也可以構造面面平行；二要掌握解題時由已知想性質、由求證想判定，即分析法與綜合法相結合來尋找證明的思路；三要嚴格要求自己注意表述規范，推理嚴謹，只能用所學的判定與性質定理，避免使用一些正確但不能作為推理依據的結論.即定理“一條也不能多”。
牛刀小試
（本小題滿分15分）如圖所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DBAC,點M是棱BB1上一點.
（1） 求證：B1D1∥面A1BD；
（2） 求證：MDAC；
（3） 試確定點M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D.
【參考答案】
（1） 證明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,
且BB1=DD1,
BB1D1D是平行四邊形,B1D1∥BD.
3分
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,
B1D1∥面A1BD.4分
（2） 證明：BB1面ABCD,AC面ABCD，
BB1AC.6分
又BDAC,且BD∩BB1=B，
AC面BB1D1D.8分
而MD面BB1D1D，MDAC.9分
（3） 當點M為棱BB1的中點時,
平面DMC1平面CC1D1D.10分
取DC的中點N,D1C1的中點N1,連接NN1交DC1于O,連接OM.
N是DC的中點,BD=BC,BNDC；
又DC是面ABCD與面DCC1D1的交線,而面ABCD面DCC1D1,
BN面DCC1D1.12分
又可證得,O是NN1的中點,BM∥ON,且BM=ON,即BMON是平行四邊形,
BN∥OM,OM平面CC1D1D,14分
OM面DMC1,
平面DMC1平面CC1D1D.15分
（作者：張彬，江蘇省西亭高級中學）
（上接第64頁）
由2θ+π4∈π4,5π4，此時OC∈(1,2+1］；
當A、B、C、D按逆時針方向時，如圖所示，在OBC中，
a2+1－2acosπ2－θ=OC2，
即OC=(2cosθ)2+1－2•2cosθ•sinθ
=4cos2θ+1－2sin2θ
=2cos2θ－2sin2θ+3
=－22sin2θ－π4+3，
由2θ－π4∈－π4,3π4，此時OC∈［2－1,5)，
綜上所述，線段OC長度的最小值為2－1，最大值為2+1．
(作者：陳勇軍，江蘇省通州高級中學)
數學是一種目標明確的思維活動，是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度――克萊因（美國數學家）。為此，我們在解題時，要加強目標意識，在正確的目標引領下，進行有效的探求。為此，我們在整個教學活動中始終要明確“我要達到什么目標，怎樣達到”及“如何選擇適當的方法達到最佳效果”，以便少走彎路或不走彎路，從而提高學生學習的主動性和策略性，提高教學活動的效率。尤其在立體幾何的復習中更要加強解題的目標意識。
【例1】如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，CD=1，AB=2，PA平面ABCD，PA=1.
（1） 求證：AB∥平面PCD；
（2） 求證：BC平面PAC；
（3）若M是PC的中點，求三棱錐MACD的體積．
分析（1） 由“線線平行線面平行面面平行”知，欲達到“線面平行”這一目標，應從“線線平行”或“面面平行”的角度去考察；
（2） 由“線線垂直線面垂直面面垂直”知，欲證BC平面PAC，將目標轉化為BC垂直于平面PAC內的兩條相交的直線；
（3） 求三棱錐MACD的體積的目標轉移為目標1――底面積ADC比較好求，而目標2――M到底面ADC的距離，應由M是PC的中點轉化為P到面ADC距離的一半。
證明（1） 由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，
又AB平面PCD，CD平面PCD，
AB∥平面PCD.
（2） 在直角梯形ABCD中，過C作CEAB于點E，
則四邊形ADCE為矩形，AE=DC=1.
又AB=2,BE=1，
在RtABC中，∠ABC=45°,
CE=BE=1,CB=2,AD=CE=1.
則AC=AD2+CD2=2，AC2+BC2=AB2,
BCAC.
又PA平面ABCD，PABC,
又PA∩AC=A，BC平面PAC.
（3） M是PC的中點，M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半，
VMACD=13SACD•12PA
=13×12×1×1×12=112.
點撥由“線線平行線面平行”及“線線垂直線面垂直”時，應注意滿足的條件不可缺少。
總結：在證明“線面平行或垂直”時，要有化歸的意識，利用好轉化的方法，即應該利用好“線線平行線面平行面面平行”和“線線垂直線面垂直面面垂直”。
【例2】在四棱錐PABCD中,側面PAD底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC,O是AD上一點.
（1） 若CD∥面PBO,試指出O點的位置；
（2） 若面PAB面PCD，試證明PD面PAB.
分析（1） 由“線線平行線面平行面面平行”，將目標轉化為“若CD∥BO，試指出O點的位置。”
（2） 由“線線垂直線面垂直面面垂直”知，欲證明PD面PAB，則可轉化為PD垂直于面PAB內兩條相交的直線，而PDAP易證。那么PD還垂直于哪條直線呢？條件：面PAB面PCD如何轉化呢？由平面與平面垂直的性質定理知，要得到“線面垂直”，必須在面PAB內找一條直線與這兩平面的交線垂直。
證明（1） CD∥面PBO,CD面ABCD，
又面PBO∩面ABCD=BO，CD∥BO.
又AD＝3BC，
點O在AD的三等分點上（靠近點D）.
（2） 側面PAD底面ABCD,∠BAD＝90°，面PAD∩面ABCD=AD，AB面ABCD，
AB面PAD.
又PD面PAD，ABPD.
延長AB，DC交于M點，連接PM，過點A作AH垂直于PM，垂足為H.
又面PAB面PCD，面PAB∩面PCD=PM,
AH面PCD，又PD面PCD，AHPD.
又AB∩AH=A，AB、AH面PAB，
PD面PAB.
點撥（1） 中最后的結果表示應說明：點O在AD的三等分點上（靠近點D處）；
（2） 注意條件面PAB面PCD如何轉化，沒有現成的“線線垂直”，所以要構造新的“線線垂直”，結合條件面PAB面PCD進行應用。
總結：這一題的第二問難度比較大，關鍵是平面與平面垂直的性質定理的應用，應該要滿足什么條件，這個必須清楚，缺少現成條件的，要添加輔助條件，以幫助問題的解決。
牛刀小試
1. 如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段AD上，且CE∥AB.
(1) 求證：CE平面PAD；
(2) 若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱錐PABCD的體積．
2. 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.
（1） 若ACPD，求證：AC平面PBD；
（2） 若平面PAC平面ABCD，求證：PB=PD；
（3） 在棱PC上是否存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，說明理由.
3. 如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E為PC的中點．
（1） 求證：BE∥平面PAD；
（2） 若AB平面PAD，平面PBA平面PBD，求證：PAPD．
【參考答案】
1. (1) 證明：因為PA平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PACE.
因為ABAD，CE∥AB，
所以CEAD.
又PA∩AD＝A，
所以CE平面PAD.
(2) 由(1)可知CEAD.
在RtECD中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1.
又因為AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四邊形ABCE為矩形．
所以S四邊形ABCD＝S矩形ABCE＋SECD＝AB•AE＋12CE•DE＝1×2＋12×1×1＝52.
又PA平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱錐PABCD＝13S四邊形ABCD•PA＝13×52×1＝56.
2. （1） 證明：因為底面ABCD是菱形，
所以ACBD.
因為ACPD，PD∩BD=D，
所以AC平面PBD.
（2） 證明：由（1）可知ACBD.
因為平面PAC平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD平面ABCD，
所以BD平面PAC.
因為PO平面PAC，
所以BDPO.
因為底面ABCD是菱形，
所以BO=DO.
所以PB=PD.
（3） 不存在.下面用反證法說明.
假設存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD.
在菱形ABCD中，BC∥AD，
因為AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因為BM平面PBC，BC平面PBC，
BC∩BM=B，
所以平面PBC∥平面PAD.
而平面PBC與平面PAD相交，矛盾.
所以不存在點M（異于點C）使得BM∥平面PAD.
3. （1） 思路1：轉化為線線平行，構造一個平行四邊形ABEF（其中F為PD的中點）.
取PD的中點F，連接AF、EF，
則EF∥CD且EF=12CD.
又AB∥CD且AB=12CD.
四邊形ABEF為平行四邊形,BE∥AF.
BE面PAD，AF面PAD，BE∥面PAD；
思路2：轉化為線線平行，延長DA、CB，交于點F，連接PF，易知BE∥PF.
思路3：轉化為面面平行，取CD的中點F，易證平面BEF∥平面PAD.
（2） 在平面PBA內作AHPB于H，
則AH平面PBD，
從而AHPD，又已知AB平面PAD，
所以ABPD，
高考數學立體幾何知識點一
1.有關平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規律--充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力。
2. 判定兩個平面平行的方法：
(1)根據定義--證明兩平面沒有公共點;
(2)判定定理--證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面;
(3)證明兩平面同垂直于一條直線。
3.兩個平面平行的主要性質：
⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。
⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。
⑶兩個平面平行的性質定理：”如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那
么它們的交線平行“。
⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。
⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
⑹經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。
以上性質⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為”性質定理“，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。
高考數學立體幾何知識點二
(1)棱柱：
定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱
幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示：用各頂點字母，如五棱錐
幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺：
定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分
分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等
表示：用各頂點字母，如五棱臺
幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點
(4)圓柱：
定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐：
定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺：
定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分
幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。
(7)球體：
定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體
幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。
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垂線與平行線》-單元測試3
一、單選題(總分：40分本大題共8小題，共40分)
1.(本題5分)只使用一副三角板，不能拼出（
）度的角．
A.105
B.70
C.135
2.(本題5分)三時整．鐘面上的時針和分針成（
）的角．
A.180°
B.90°
C.60°
D.30°
3.(本題5分)小明畫了一條10厘米長的（
）
A.直線
B.射線
C.線段
4.(本題5分)不在同一條直線上的4點，最多可以連成（
）條線段．
A.6
B.5
C.4
D.無數
5.(本題5分)一條（
）長50厘米．
A.直線
B.射線
C.線段
6.(本題5分)圖中的角和平角可能相差（
）度．
A.180
B.140
C.40
D.90
7.(本題5分)兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線（
）
A.相交
B.互相垂直
C.互相平行
8.(本題5分)下面各角中，不能用兩把三角尺拼成的角是（
）
A.120度
B.135度
C.80度
D.105度
二、填空題(總分：25分本大題共5小題，共25分)
9.(本題5分)在同一個平面內，兩條直線的位置關系有____和____兩種情況，其中相交的一種特殊情況是兩條直線____．
10.(本題5分)一個銳角三角形，兩個內角之和a的范圍是____．
11.(本題5分)一個直角三角形，其中一個銳角是35°，那么它的另一個銳角是____度．
12.(本題5分)平行線之間可以作____條垂直線段，這些垂直線段的長，叫做平行線之間的____．
13.(本題5分)如圖，已知∠1=130°，∠2=____．
三、解答題(總分：35分本大題共5小題，共35分)
14.(本題7分)分別畫出80°、125°的角．
15.(本題7分)如圖是平行線的有：____．
16.(本題7分)過P點分別做出直線L1和直線L2的平行線．
17.(本題7分)按要求畫角：
（1）畫一個65度的角．
（2）畫一個直角．
（3）畫一個鈍角．
18.(本題7分)請你用一副三角板畫出165度和135度的角，用量角器畫出一個165度的角．
蘇教版四年級數學上冊《八
垂線與平行線》-單元測試3
參考答案與試題解析
1.【答案】：B;
【解析】：解：一副三角板中各個角的度數分別是30°、60°、45°、90°，
A、105°的角可由60°和45°的角拼得，
B、70°的角不能拼得，
C、135°的角可由45°和90°的角拼得；
故選：B．
2.【答案】：B;
【解析】：解：鐘面上一大格為：360÷12=30°，
3時整，鐘面上時針與分針形成的夾角是：30°×3=90°；
故選：B．
3.【答案】：C;
【解析】：解：直線沒有端點，射線只有一個端點，二者都不能量得其長度，而線段有兩個端點，可以量得其長度．
故選：C．
4.【答案】：A;
【解析】：解：如圖：
一共可以組成的線段條數是：
3+2+1=6（條）；
故選：A．
5.【答案】：C;
【解析】：解：一條線段長50厘米．
故選：C．
6.【答案】：C;
【解析】：解：因為圖中的角是140度，平角是180度；
所以180-140=40（度）
故選：C．
7.【答案】：C;
【解析】：解：根據垂直和的性質得：兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線互相平行，
故選：C．
8.【答案】：C;
【解析】：解：A、120°的角，30°+90°=120°；
B、135°的角，45°+90°=135°；
C、80°的角，不能直接利用三角板畫出；
D、105°的角，45°+60°=105°；
故選：C．
9.【答案】：平行;相交;垂直;
【解析】：解：在同一個平面內，兩條直線的位置關系有
平行和
相交兩種情況，其中相交的一種特殊情況是兩條直線
垂直；
故答案為：平行，相交，垂直．
10.【答案】：180°＞a＞90°;
【解析】：解：根據題干分析可得：因為銳角三角形的3個角都是銳角，即每個角都小于90°，又因為三角形內角和是180°，
所以，其中一個角小于90°，則180°減小于90°的角，得的差要大于90°，即另兩個角的和大于90°，
所以銳角三角形任意兩個角之和大于90°，即一個銳角三角形的兩個內角之和a的范圍是：180°＞a＞90°；
故答案為：180°＞a＞90°．
11.【答案】：55;
【解析】：解：180-90-35=55（度），
答：另一個銳角是55度．
故答案為：55．
12.【答案】：無數;距離;
【解析】：解：由分析可知：平行線之間可以作
無數條垂直線段，這些垂直線段的長，叫做平行線之間的
距離．
故答案為：無數，距離．
13.【答案】：50°;
【解析】：解：∠2=180°-∠1=180°-130°=50°；
故答案為：50°．
14.【答案】：解：
;
【解析】：畫一條射線，用量角器的中心點和射線的端點重合，0刻度線和射線重合，在量角器80°或125°的刻度上點上點，過射線的端點和剛作的點，畫射線即可．
15.【答案】：解：如圖是平行線的有：①、④．
故答案為：①、④．;
【解析】：依據平行的意義，即同一平面內不相交的兩條直線，叫做平行線，據此即可解答．
16.【答案】：解：畫圖如下：
;
【解析】：把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過P點沿三角板的直角邊畫直線即可．
17.【答案】：解：根據題干分析，畫角如下：
;
【解析】：①畫一條射線，中心點對準射線的端點，0刻度線對準射線（兩重合）；
②對準量角器65°（或90°或大于90°）的刻度線點一個點（找點）；
③把點和射線端點連接，然后標出角的度數．
18.【答案】：解：（1）
（2）;
【解析】：（1）因一副三角板中的各個角的度數分別是30°、60°、45°、90°把它們進行組合，即可得到某些特殊的角度，其中，90°+45°=135°，165°=90°+45°+30°，據此解答；