數學建模問題精選(九篇)

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第1篇：數學建模問題范文

[關鍵詞]運用 建模思想 解決問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）35-078

解決問題的教學一般要經過閱讀、觀察、分析、操作、抽象等幾個過程。解決問題的方法有許多，但是自從新課標實施以來，關注數學建模，學會用建模思想指導教學，解決數學問題則是其極力提倡的。那么，怎樣才能有效運用建模思想，幫助學生解決數學問題呢？

一、理解四則運算意義，構建解決問題的基本模型

四則運算是解決問題最基本的模型，這是因為所有的解決問題都是與加減乘除分不開的，更是在理解運算意義的基礎上進行的。因此，在教學中，教師可在四則運算意義的基礎上引導學生建立基本的數學模型，進而達到解決問題的目的。

例如，在解決“桌上有3個盒子，每個盒子里有5個乒乓球，一共有幾個乒乓球”這個問題的過程中，教師可以結合具體情境引入“5+5+5”這個加法算式合并的例子，然后在此基礎上抽象出“份數乘個數”這個數學模型，幫助學生輕松解決數學問題。

這樣教學，集解決問題與理解算法于一體，不僅有助于學生認識四則運算在解決問題中的價值，而且還有效地增強了學生的應用意識。

二、探析信息的關聯性，構建解決問題的關系模型

在新課改理念指引下，現行的數學教材較以往有了很大改變，那就是弱化了“數量關系”這個環節，直接從“情境創設”跳轉到了“實際應用”，這對我們的教學提出了挑戰。因此，教師要善于從具體的情境中抽象出數量關系模型，以使學生在直觀理解的基礎上把握問題之間的具體聯系，并使之在建模過程中得到內化與發展，提高學習效果。

例如，在學習“購物問題”時，以下表為例，筆者是這樣引導學生構建關系模型的：

1.從圖中你看到了哪些有價值的數學信息？利用這些信息可以幫助我們解決什么問題？

2.從給出的已知條件“襯衣單價130元，數量2件”中，你能求出什么？（引導學生抽象出模型：單價×數量=總價。）

3.題目中有哪些未知條件？應該如何解決？（引導學生得出模型：單價=總價÷數量。）

4.在領帶總價不知的情況下，鋪路搭橋，從中間條件出發解決問題，得出方法模型：領帶總價=500元-襯衣總價。

5.自行嘗試列式計算。

在這個教學過程中，教師主要從問題之間的相互關聯性入手，引導學生進行層層剝繭式的探究學習。在這個學習過程中，學生邊探析邊構建關系模型，輕松地解決了數學問題。

三、引導分析與綜合，構建解決問題的思維模型

分析與綜合是數學學習最基本、最重要的思維方法。在數學教學中，教師應注重引導學生進行分析與綜合，構建解決問題的思維模型，進而促進學生有效解決問題。

例如，在解決“小英家養了12只白兔，7只黑兔，求白兔比黑兔多幾只”這個問題的過程中，教師可以引導學生輕聲讀題，學生在一遍又一遍的朗讀中得出已知條件以及具體要求的問題是什么，必要時可以通過畫圖的方式來幫助學生分析。

在結合圖例分析的過程中，教師要引導學生說出要求的是哪一部分，以及虛線在圖中表示的意義等，在此基礎上，經過分析與綜合得出“求比一個數多幾”的問題的思維方式，從而幫助學生構建出“要求出誰比誰多幾，就要從多的數中減去和它同樣多的部分，用減法計算”的思維模型。

由此可見，巧用分析與綜合，不僅可以幫助學生理清解題思路，找到解決問題的突破口，而且還可以逐步提升學生運用所學知識解決實際問題的能力。

第2篇：數學建模問題范文

關鍵詞：問題預設；初中數學；實踐探索；建模

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2017）02-0103-01

前言 教學預設就是根據教育目標和學生的興趣，學習需要以及已有的知識經驗，以多種形式有目的，有計劃地設計教育活動。預設要求教師依據學生的興趣、經驗和需要，在與環境交互作用中進行有效的動態性調整，以引導學生生動、活潑、主動地進行對新知的探究活動。但是在數學建模教學過程中，要真正做到成功的預設并非易事。為減少誤識、成功設疑，引導中學生上好數學課；為幫助數學教師收到更好的教學效果，筆者結合教學工作實踐，探討如下。

1.緊扣教學內容，數學問題的預設要貼近學生生活

數學來源于生活而最終又服務于生活。數學教學過程中，要通過各種具體生動的生活情境，讓學生切實感受到"生活處處皆數學"，同時也要讓學生利用所學知識去解決生活中的數學問題，感受數學的價值。因此，在數學的課堂教學過程中，要以他們的生活經驗為基礎，創設貼近學生的生活實際的情境，通過數學問題情境的創設，將枯燥的數學問題變得生動有趣，易于理解，從而使學生能夠學以致用。

例如在"方案選擇"教學實踐中，筆者所選的數學例題為在某商場或超市的品牌鞋促銷打折活動中，怎樣買最合算？或幫助我們的父母選擇什么樣的付款方式買方買車最合算等，問題的成功預設，貼近生活，啟發了中學生的思考，尤其是問怎樣做才能最省錢？學生興趣濃厚、注意力集中、勤于思考，計算得出最佳方式。教學完成教學目標后，數學教師適時引導，中學生發現，學好數學還能幫助我們理財、省錢，于是對學好數學端正了態度，樹立了信心。

2.關愛中學生、對學情的把握要到位

新課程改革更加關注學生怎樣學。數學課程標準也指出："數學教學活動必須建立在學生認識發展水平和已有知識經驗基礎之上。"這就是要求教師在研究教材、教法的同時，加強對學生的研究，在關注內容組織與過程安排的同時，關注學生的認知基礎，關注學習能力，關注思維方向、情感態度和價值觀的培養。在數學建模預設環節中，為發揮出預設的重要作用，引導學生積極啟發思維，進入課堂學習狀態，數學教師在預設數學問題時，要結合學情，所預設的數學問題部不能過于簡單、也不能超出了中學生的思維范圍。上課前，要充分解讀學生，"把握學生原有的生活經驗和知識背景"，一堂課下來、一個教學內容的安排對于全班中學生來說，有哪些學生基本不用引導就能掌握，換言之能自學會了；哪些中學生得在教師的點撥中才能領會；哪些中學生必須在教師的引導或是重點關注下才能達成目標的，針對上述情況，數學教師只有在課前做到心中有數，那么我們的課堂設疑才能有的放矢，為數學建模教學的順利推進，才能發揮出應有的重用作用。

3.關注學生的情感體驗，問題設計應具有梯度性

古訓云"興趣是最好的老師"。對于中中生而言，數學成績的好壞，很大程度上要取決于學生對數學感不感興趣。有興趣，學習就是一種享受，沒有興趣，學習就成了一種負擔。筆者通過長期的教學實踐表明，興趣的產生主要原于中學生在學習過程中不斷取得的成功，成功能夠讓中學生達到心理上的滿足，獲得外界的認可，從而享受到成功所帶來的快樂，而這種快樂，就是中學生下階段學習的原動力。因此，在數學課堂教學中，我們應根據不同中學生的水平和特點，設計具有不同梯度的問題，為所有的中學生創造展示自我，獲得成功的機會，增強他們學好數學的信心，使他們樂于學習，勤于思考，在不斷取得的成功之中發展數學思維。

4.注重激發中學生在無疑處生疑

數學教師在力圖理解學生回答的基礎上，首先需在學生有疑處提問；其次，數學教師還需在中學生自以為無疑實則有疑之處提問。如"大家同意這個看法嗎"，以此來激發中學生的深入思考。再比如，在數學師生共同探討問題的檢驗時，教師從中學生的有關回答中感覺到學生的潛意識中只有檢驗合乎實際這種情況。此時，教師提問："模型是否準確？如果準確我們就可以用它，那如果不準確呢？"數學教師繼續追問："要想保證我們所取得的結果盡可能準確，那么該怎么樣？"這些提問要讓中學生更深層次地思考有關問題，更深切地體驗科學研究的態度、方法與過程。

5.以鼓勵為主，積極評價中學生

教學活動是一種特殊的認識過程，在這個過程中，數學問題預設后，師生情感交流的和諧程度也對課堂教學的收效影響明顯。在日常數學教學過程中，討論是情感交流和溝通的重要方法。教師與學生的討論，學生與學生的討論是學生參與數學教學過程，主動探索知識的一種行之有效的方法。新課程標準要求教學要依照教學目標組織學生充分討論，并以積極的心態互相評價、相互反饋、互相激勵，只有這樣才能有利于發揮集體智慧，開展合作學習，從而獲得好良好的教學效果。設疑后，不要隨便批評學生，針對學生多角度的回答，要耐心，要用教學智慧去成功化解。

同時在設疑后，捕捉到中學生一點點閃光點，都可以及時地給予表揚和鼓勵。對中學生來講，表揚表示老師對他們的認可，學生也相當重視老師對自己的態度及評價，老師的贊許和肯定、老師關注的一瞥、信任的點頭，都會使他們感到莫大的安慰和鼓舞，同時這種滿足感也會激發學生的學習動機，針對教師的問題的提出，就會積極地思考，促進了學生思維能力的發散與提高，促進了課堂教學的動態生成。

參考文獻：

[1]朱昌寶.數學課堂教學精心預設智慧生成[J].現代中小學教育，2015，7

第3篇：數學建模問題范文

【關鍵詞】課程標準 數學建模 探究性學習

一、新數學課程標準與“數學探究性學習”

新數學課程標準提出：“人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展?！边@種觀點認為“數學是一項人類活動”，應讓學生通過自己的發現去學習數學、獲取知識，實現數學的再發現和再創造，從而促進學生個人潛能的開發?！皠邮謱嵺`、自主探索、合作交流”的數學探究性學習方式被證明是達成這一目標的有效途徑。

二、中考數學命題方向與“數學探究性學習”

近幾年，各地中考數學試題中涌現出了一大批貼近實際、格調清新、富有創意的探究性試題。通過對這些新題型的研究，不僅能使學生有效地提高數學應試技巧，而且能有力地推動學生“發現潛能”的開發。這要求我們要遵循“以人為本”的精神，營造一種“問題情境一建立模型一解釋、應用與拓展”的“探究性學習”教學模式。這其中數學建模和數學應用是核心、關鍵。

三、“數學探究性學習”的四種模式

探究性學習的模式大致可分為以下四種：“知識發生”型、“問題解決”型、綜合應用型、小課題研究型。每種模式都可借助數學實驗、數學建模或探究性課題等形式來實現。下面就以中考試題中出現的探究性考題為例進行探討。

以“探索知識的發生過程”為背景的探究性學習模式。

例（2004年河北?。┪覀冎溃河捎趫A是中心對稱圖形，所以過圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分（如圖1）。

探索下列問題：

（1）在圖2給出的四個正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線和任意直線），將每個正方形都分割成面積相等的兩部分。

（2）一條豎直方向的直線m以及任意直線n，在由左向右平移的過程中，將六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為S1和S2。

1）請你在圖3中相應圖形下方的橫線上分別填寫S1與S2的數量關系式（用“”連接）。

2）請你在圖4中分別畫出反映S1與S2三種大小關系的直線n，并在相應圖形下方的橫線上分別填寫S1與S2的數量關系式（用“”連接）。

（3）是否存在一條直線，將一個任意平面圖形（如圖5）分割成面積相等的兩部分？請簡略說明理由。

第4篇：數學建模問題范文

把傳統的應用題改為當前《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中的解決問題，當然不是一個簡單的更改名稱問題?！墩n標》編制組主要負責人之一孫曉天教授曾說過：“解決問題脫胎于應用題，但絕不同于應用題。”

在常人眼里看來，傳統的應用題教學似乎應該是與數學建模格格不入的，實際上，如果我們仔細閱讀《應用題的本質是數學建模》一文，就不難發現，“應用題的本質是數學建模”。

因此，無論是傳A統的應用題也好，還是現在《課標》提倡的解決問題也好，其實質歸根結底都是“數學建?！保骸爸挥型瑫r重視學生在解決問題中的思維跨度——完成兩個轉化，才能大面積有效地提高解決問題的能力”，才能真正實現《課標》中提出的“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展”這個最根本的目的。

運用蘇教版教材初次教學速度時，本人意識到，這是小學生初次接觸速度這個概念，首次建構相關的數學模型。因此本人結合教師用書中的教材編寫的意圖、教學目標、教學建議，結合《課標》中關于數學課程的說明，結合多年的具體教學經驗，在具體教學時應非常明確地貫徹“解決問題的前提是理解概念，解決問題的關鍵是建構模型，解決問題的途徑是學會策略”的理念。

查找資料，精心準備。在初次進行速度教學時，本人特意事先布置學生了解、測量自己步行、跑步的速度（為方便起見，沒有采用時速，而是以一分鐘為例，畢竟分鐘也是一種單位時間），除此之外，還布置學生通過不同的渠道查找自己知道的一些交通工具的運行速度。這些由學生查找出來的交通工具的時速，都可作為本單元學習的資源。

創設情境，理解概念。具體教學時，可由學生熟悉的“比快慢”入手。在“比快慢”時，教師可有意識地引入學生現實生活中的例子，一組是路程相同時，比什么；一組是時間相同時，比什么。這樣一來，既可以比快慢，更重要的是，可以借助這兩組例子，引導學生明白，快慢（也即下文的速度）同路程、時間有密切的聯系。

在學生回答的基礎上，教師進行引導：路程相同時，比時間；時間相同時，比路程。也就是說，速度同路程、時間有關，確切地說：“物體在單位時間內通過的路程的多少，叫作速度。”

建構模型，解決問題。教師出示現實生活中的三個情境問題，分別同步行、騎自行車、開小汽車有關，分別要求學生在已知兩個量的情況下，學會求第三個量。在上述基礎上，引導學生刻畫速度、時間和路程三者關系的模型：速度×時間=路程。教學時，側重于將書本上的例題與學生生活中的實例有機結合起來，讓學生從自己熟悉的物體簡單運動的常識出發歸納出速度、時間和路程之間的關系，并用這個關系去解決實際問題。通過解決簡單行程問題，引導學生自主探索速度、時間和路程之間的關系，構建數學模型：速度×時間=路程。

行程問題在小學五六年級當中多次出現，并且呈現出越來越細、越來越深、越來越難的趨勢。因此，行程問題需要我們教師在教學時，除了大家公認的分析法和綜合法之外，還要引導學生學會一些常用的解決問題的具體策略：

（1）動手模擬。有這樣一種類型的行程問題應用題：假設一列自身長度為200米的火車運行速度為40米/秒，它通過長為3600米的隧道需要多少時間？

這一類題目，不少學生不仔細審題，馬上會想當然地認為是3600÷40=90（秒）。因此，在具體教學時，我往往是引導學生“模擬操作”——以書本作為隧道，橡皮作為火車，看看到底什么時候才算真正意義上的通過。只要這樣“模擬操作”，絕大部分學生就能夠恍然大悟，只有當火車車尾通過隧道，火車才算真正意義上的通過。

采取“模擬操作”的策略，有助于學生在親自動手的過程當中真正理解題意，了解有關路程這個變量的確切數值，從而有利于學生順利解題。

（2）學會畫圖。畫示意圖比起模擬操作已經抽象了一步，它等于是去掉了題目中的次要成分，抓住問題的主要成分，有利于學生更加清楚地思考問題，提煉題目中的數量關系。

（3）抓住關鍵。教師在教學行程問題時，應該引導學生學會抓住關鍵語句，進而有助于學生理解行程問題中牽涉到的時間、速度、路程三者之間的數量關系。還是以前面所述“火車過隧道”的例題為例，當學生出現錯誤時，教師同樣可以引導學生抓住有利于分析、解決問題的關鍵語句——“通過”一詞。真正理解了“通過”一詞的含義，才能夠明白題目當中的“路程”不僅僅是指隧道的長度3600米，而應該是隧道長度外加火車自身長度（3600+200=3800米）。只有這樣，才能夠正確解題。

第5篇：數學建模問題范文

關鍵詞： 數學建模 提問能力 數學教學

在數學建模中，提高學生的提問能力對幫助學生建立正確的數學模型，加強學生對數學解題規律的掌握、培養學生的數學思維等有積極意義。但是在傳統數學教學中，教師對學生提問能力的培養和提高并不重視，導致學生提問能力不強，不利于學生建模能力的提高。本文就在數學建模中培養學生提問能力的策略進行了簡要分析。

1.營造良好的課堂氛圍

要提高學生的提問能力首先需要教師重視課堂氛圍營造，讓學生處在相對較為輕松和愉悅的學習氛圍中，這樣，學生的思維才能更加擴散，學習主動性才能增強，才有可能讓學生主動提問。課堂氛圍的營造需要教師轉變傳統教學方法，采用更靈活和多樣化的教學形式，給學生更多想象和自我發展空間[1]。傳統數學教學中，教師是教學主體，學生處于被動接受知識的狀態。這種情況下學生根本不可能也不需要主動提問，因為教師會全部為你解釋。素質教育要求教師正確認識學生的學習主體性地位，將課堂還給學生，讓學生在課堂中更活躍和積極。因此，教師在教學中可以采用游戲教學法、實驗教學法等讓課堂氛圍更活躍和輕松，為培養和提高學生的提問能力創造良好的環境。

2.創設良好的教學情境

情境教學法是新課改下經常提倡的新型教學法，這種教學法對促進教學有重要的意義。首先，在情境教學中，學生更設身處地地了解數學知識，加深對數學知識的理解；其次，在情境教學中學生提問的機會增多，更能把握應該怎樣、從哪方面進行提問。例如，在立體幾何圖形中，教師讓學生聯想現實生活中的實際案例，學生恍然大悟之后自然而然就會問一句：“為什么？”這就是情境教學法對促進學生主動提問的直接作用；最后，情境教學還可以幫助學生在一定程度上提高思維的敏銳度，幫助學生更好地發展自我想象力和創造力[2]。例如，教師教學統計知識時可以利用多媒體信息技術對教學內容進行直觀展示，然后讓學生根據多媒體技術調查和統計本組人員。調查和統計是一項具有實踐性特征的教學活動，教師通過這種教學情境可以更好地提高學生的參與積極性和有效性。而學生在積極參與中會自覺發現其問題，例如如果調查的人數更多，怎樣設計表格和調查問卷更合理和便捷？這樣，學生在參與實際情境的過程中不僅可以加深對數學知識的理解，還可以培養自己的提問能力。

3.提高學生的提問心理素質

學生在長期傳統學習觀念的影響下，在教學中不一定敢于向教師提問，尤其對于性格較為內向的學生來說，提問心理素質較低，需要教師進行積極引導和耐心指導，才有可能培養學生提問能力，并逐步提高[3]。在很大程度上，學生之所以不敢向教師提問是因為害怕教師批評他們，或者怕自己提出的問題引發笑話。這就要求教師在教學中經常鼓勵學生提問，對敢于提問的學生予以鼓勵和支持，如果學生提出的問題遭到其他學生的嘲笑，教師一定要幫助學生說話，如“我覺得這位同學提出的問題很好，說明這位同學有在認真思考。她提出的問題也很對，我們研究研究這個問題”。這樣，學生才能不斷樹立提問自信，培養提問能力。

4.對學生進行積極主動的評價

教學評價是教學中不可缺少的一部分，如何利用教學評價提高學生提問自信，是教師在教學評價中必須重視的問題。首先，教師的教學評價一定要客觀，對成績優異的學生和成績一般的學生一視同仁[4]；其次，教師在教學中要控制過于頑皮的學生，防止這些學生利用課堂的活躍度做出不當行為；最后，將學生的提問次數、提問深度等納入教學評價內，讓學生積極主動地參與課堂提問。

5.結語

在數學建模中培養學生的提問能力要求教師營造良好的課堂氛圍，創設良好的教學情境，提高學生的提問心理素質，并對學生進行積極主動的評價。

參考文獻：

[1]徐華.初中數學教學中培養學生主動提問能力的有效途徑[J].教育教學論壇，2014，33：80-81.

[2]王義康，王航平.談數學建模在理工科學生創新實踐能力培養中的應用[J].教育探索，2012，04：55-56.

第6篇：數學建模問題范文

解數學應用問題的關鍵是對問題原始形態的分析、聯想、抽象、將實際問題轉化為一個數學問題，即構建數學模型。利用數學建模解數學應用題對于多角度、多層次、多側面思考問題，培養學生發散思維能力是很有益的，是進行素質教育的一條有效途徑。數學學習不僅要重視數學基礎知識、基本技能、思維能力、運算能力等方面的訓練，而且要重視在應用數學分析和解決實際問題的能力方面進行訓練和提高，要讓學生學會提出問題，能夠運用已有的知識進行交流，并將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型，從而形成比較完整的數學知識結構。

一、構建方程模型

這類問題一般要通過列方程式或方程組求解，首先要明白題意，找出已知量和未知量，并分析各量之間的關系，在此基礎上尋找相等的數量關系列出方程式或方程組。必須注意，在求得方程的解之后，要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理。一要檢驗所求出的解是否為所列方程的解;二要檢驗方程是否符合應用題的題意，最終寫出答案。

例1：有一個允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達道口時，發現由于擁擠，每分鐘只能3人通過道口，此時，自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時間忽略不計），通過道口后，還需7分鐘到達學校.此時，若繞道而行，需要15分鐘到達學校，從節省時間考慮，王老師應選擇繞道去學校，還是選擇通過擁擠的道口去學校？若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過），結果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時間是多少分鐘？

解：（1）因為36+7=19>15，所以王老師應選擇繞道而行去學校.

（2）設維持秩序的時間為t分鐘，則

36-（t+36-3t） =6， 解得t=3

二、構建不等式模型

現實生活中普遍存在著一些量之間的不等關系，應注意相關信息的聯想、發現、探索及歸納總結，能有效的考查學生的閱讀能力、探索能力和建模能力，培養學生的數學思想和實際應用能力，一般當問題中出現“未超過”、“最多”、“至少”等關鍵詞，可考慮建立不等式的數學模型解之。

例2：《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分段累進計算：

某人1月份應繳納稅款80元，求他當月工資是多少元？

如果某單位共有50人，某月繳納稅款3080元，且每人的當月的工資都在超過800元而不超過2000元之間，求當月工資不超過1300元的職工最多可能有多少？

解：（1）設他當月工資為x元則，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）

答：他當月工資為1850元.

（2）設當月工資不超過1300元的職工為y人，則當月工資超過1300元，但未超過2000元的職工為（50-y）人，根據題意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，

所以y的最大整數解是y=23

答：當月工資不超過1300元的職工最多為23人.

三、構建函數模型

現實中普遍存在最優化問題，?？蓺w結為函數最值問題，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法去解決，這也是近年來中考命題的一個熱點，這要求我們在教學中要切實重視最值問題的探究。

例3：某校九年級（1）班共有學生50人，據統計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元.經測算和市場調查，若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其他費用780元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關系.

（1）求y與x的函數關系式;

（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據提供的信息分析一下：該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？

（3）當a至少為多少時， 該班學生集體改飲桶裝純凈水一定合算？

解：（1）設y=kx+b，x=4時，y=400;x=5時，y=320.

解之，得

y與x的函數關系式為 .

該班學生買飲料每年總費用為50×120=6000（元），

當y=380時，380=-80x+720， 得x=4.25，該班學生集體飲用桶裝純凈水的每年總費用為380×4.25+780=2395（元），顯然，從經濟上看飲用桶裝純凈水花錢少.

（3）設該班每年購買純凈水的費用為W元，則

W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620

當 x=4.5時， Wmax=1620

要使飲用桶裝純凈水對學生一定合算，則50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少為48元時班級飲用桶裝純凈水對學生一定合算。

四、構建幾何圖形模型

現實生活中，航行、建橋、測量、人造衛星等涉及一定圖形屬性的應用問題，常構建幾何圖形，利用幾何圖形的性質，用方程、不等式或三角函數知識來解答。

例4：青海玉樹地震發生后，一支專業搜救隊驅車前往災區救援.如圖，汽車在一條南北走向的公路上向北行駛，當在 處時，車載GPS（全球衛星定位系統）顯示村莊在北偏西26°方向，汽車以35km/h的速度前行2h到達B處，GPS顯示村莊 在北偏西52。方向.

（1）求B處到村莊C的距離;

（2）求村莊C到該公路的距離.（結果精確到0.1km）

（參考數據： ， ，

， ）

解：過C作 ，交AB于D.

（1） ， ，

， ，

即B處到村莊C的距離為70km.

（2）在 中，

即村莊C到該公路的距離約為55.2km.

第7篇：數學建模問題范文

關鍵詞：雞兔同籠 模型

有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

一、1 如果籠子里都是雞，那么就有35×2=70只腳，這樣就多出94-70=24只腳

2一只兔子比一只雞多2只腳，也就是有24÷2=12只兔子。 35-12=23只雞。

3那么籠子里有23只雞，12只兔子。

4由此我們得出：（每只兔腳數×總頭數-總腳數）÷（每只兔腳數-每只雞腳數）=雞數。 總頭數-雞數=兔數。

二、1如果籠子里都是兔子，那么就有35×4=140只腳，這樣就少140-94=46只腳；

2一只雞比一只兔子少2只腳，也就是有 46÷2=23只雞， 35-23=12只兔子；

3所以籠子里有23只雞，12只兔子。

4由此我們得出：（總腳數-每只雞的腳數×總頭數）÷（每只兔的腳數-每只雞的腳數）=兔數； 總頭數-兔數=雞數。

三、方程法

隨著年級的增加，學生開始接觸方程思想，這個時候雞兔同籠問題運用方程思想則變得十分簡單。

第一種是一元一次方程法。

解：設兔有x只，則雞有（35-x）只

4x+2（35-x）=94

4x+70-2x=94

x=12

注：方程結果不帶單位

從而計算出雞數為 35-12=23（只）

第二種是二元一次方程法。

解：設雞有x只，兔有y只。

則存在著二元一次方程組的關系式

x + y=35

2x+4y=94

解方程式可知兔子數為 y=12 則可計算雞數為 x=23

那么在“雞兔同籠”問題中數學模型是怎樣建構的呢？

數學模型一般地說，是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化的數學符號和語言，概括地或近似地表述出來的數學結構（張奠宙語），一般可分為三類：概念型數學模型、方法型數學模型、結構型數學模型（顧泠元語）。

“雞兔同籠”問題中數學模型應該屬于結構型數學模型：建模與變式理論。

日本人對雞兔同籠問題也有研究，日本人又稱它叫“龜鶴問題”。日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯系嗎？是一樣的意思：龜就相當于兔，都是四只腳；鶴就相當于雞，都是兩只腳。假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問題，是不是還可以給它取個其它的名字呢？看來雞兔同籠問題中的雞不僅僅代表雞，兔也不僅僅是指兔！我們看有這樣一首民謠：一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數頭一共是十二，數腳一共四十二，幾個人來幾個狗？在這里獵人有兩只腳其實就相當于雞，而狗就相當于兔子。

看下面的例題：

例 全班一共有38人，共租了8條船，大船乘6人，小船乘4人，每條船都坐滿了，大、小船各租了幾條？

這樣的題怎樣解呢？其實在這里我們把解決“雞兔同籠”問題的方法遷移到這里，問題就迎刃而解了。大船相當于兔子，小船相當于雞，此題就可以改編如下：

有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有8個頭；從下面數，有38只腳。兔子有6只腳，雞有4只腳，求籠中各有幾只雞和兔？

解：（6×8-38） ÷（6-4）=10÷2=5（只小船）；8-5=3（只大船）

例：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子，自行車和三輪車各有多少輛？

在這道題里：三輪車相當于兔子，有3只腳，自行車相當于雞有2只腳，解法如下：

（3×10-26） ÷（3-2）=4÷1=4（輛）；10-4=6（輛）

又如：1號、2號、3號選手進行比賽，答對一題加10分，答錯一題扣6分。

（1）2號選手共搶答8道題，最后得分64分，她答對了幾道題？

（2）1號選手共搶答10道題，最后得分36分，他答對了幾道題？

（3）3號選手共搶答16道題，最后得分16分，他答對了幾道題？

這道題依然與上述問題思路是一致的，只是兔子是10只雞，雞是 -6只腳，答對和答錯的差值是10+6=16或10-（-6）=16

解：（1）（8×10-64）÷（10+6）

=16÷16

=1（道） （ 錯的）

8-1=7（道）

（2）（10×10-36）÷（10+6）

=64÷16

=4（道） （ 錯的）

10-4=6（道）

（3）（16×10-16）÷（10+6）

=144÷16

=9（道） （ 錯的）

16-9=7（道）

第8篇：數學建模問題范文

作為一線教師，要改變觀念,變知識的傳授者為“研究性學習”的指導者、參與者,使學生由被動的接受式學習轉向主動的探索性學習,師生共同營造起平等、民主、教學相長的教學氛圍,從而有效提高學生分析問題、解決問題的能力。下面是我在教授青島版小學數學四年級上冊第五單元信息窗二時的一個真實課例。在講三角形三邊關系時，首次備課我設計的很簡單，認為就是一句話的事，只要記住“任意兩邊之和大于第三邊”就行了，一節課既講三角形的穩定性、三邊關系，又講三角形三邊上的高、三角形的內角和，結果學生靠死記硬背記住了“任意兩邊之和大于第三邊”，實際應用卻一塌糊涂。沒辦法，我只得二次備課。這次我把三角形三邊關系單獨列為一節課的內容，設計了一系列操作練習，為學生構建數學模型，讓他們通過小組合作或自己動手、動腦，找出三邊關系。下面是不同的授課階段所構建的數學模型。

1 導入階段

為了激起學生學習的興趣，也為了讓學生對三角形的穩定性有一定的了解，我們先來做了一個實驗：請一位男同學（男同學身強力壯）拿著一個用三根木條做的三角形的框架。請一位女同學（女同學身單力?。┠弥粋€長方形的框架。預先請同學們猜想一下結果：在不損壞木條的情況下，使上臺的這兩位同學手中的框架變形，哪位同學能獲勝呢？（結果認為男生獲勝的同學局多）一番比較之后，比賽結果卻是：女同學獲勝。出人意料的結果讓同學們驚呼，同時也引發學生思考，從中發現三角形比較堅固、結實。一起得出三角形的特性——三角形具有穩定性。學生興致高漲，對本節課內容躍躍欲試。

2 新授階段

請同學們拿出表格和提前準備的多根小棒，要求從這幾根小棒中，任意取出三根來（強調任意是什么意思），用尺子測量出長度，然后把長度分別記錄在表格中，再用這三根小棒來圍三角形，并把結果記錄在表格中。兩人合作，一人圍，一人記錄。比比看哪個小組圍的情況多。

同學們記錄、測量，忙得不亦樂乎，很快表格就填了大半。請同學收起小棒后，我提示他們仔細觀察數據，有什么重大發現，并請同學說一說都圍出了哪幾種情況？（此刻，我發現很多同學做出了側耳傾聽的動作）學生匯報，我記錄在下表中。

從中選兩種不能圍成三角形的情況，在展臺上展示出來。并請部分同學來展臺上圍一圍?？粗@些不能圍成三角形小棒的長度，談談你的發現。很快就有學生搶答：

生1回答說“兩條較短的邊的和小于最長的邊，這三根小棒就不能圍成三角形。如1+3

生2回答說“兩條較短的邊的和等于最長的邊，這三根小棒也不能圍成三角形。如1+2=3，2+2=4”

為了加深印象，我問“誰能把他們的意見用一句話總結？”（加深對規律的認識）有了前面的操作，學生們搶答“當兩條較短邊的和小于或等于最長的邊時不能圍成三角形?！?/p>

那么什么情況下能圍成三角形呢？有了剛才的經驗，大部分學生迫不及待地回答“當兩條較短的邊的和大于最長的邊時，就能圍成三角形了。如2+4>5 ,2+2>2 , 3+4>5 , 1+3>3”

3 練習鞏固階段

同學們通過自己動手圍小棒，發現了三角形三邊的秘密。真是這樣嗎？下面一起來驗證這個規律吧！你能用這個規律來快速判斷三條線段能不能圍成三角形嗎？

3.1 出示四組線段：（哪組小棒能圍成三角形？并說明理由。）

A、3cm，1cm，2cm B、3cm，3cm，3cm

C、2cm，5cm，5cm D、1cm，1cm，3cm

有了前面的基礎，學習有困難的學生也躍躍欲試，A不能，1+2=3 ；B 能，3+3>3 ；C能，2+5>5； D 不能1+1

3.2 幫小猴來釘三角形。

小猴只有8cm和12cm的兩根木條，再取一根多長的木條（取整數）才能釘成一個三角形呢？看誰寫的答案多？（并說說你是根據什么規律來寫的。）

第9篇：數學建模問題范文

關鍵詞：形象 抽象 數形結合

《數學新課標》中指出：“課程內容不僅包括數學的結論，也應包括數學結論的形成過程和數學思想方法?！毙W數學是義務教育的一門重要學科，教學內容雖然直觀、淺顯，但在不同的知識中卻蘊含著深刻的數學思想方法。知識只有在方法的引領下才能顯現出知識的活性，才能讓學生更科學合理的接受知識，這要學生的發展才是可持續的健康發展，否則知識就是知識，是一種沒有靈性的僵硬學問，如孫悟空頭上的緊箍咒一般，學的知識越多越復雜越頭疼，學生遇到新的問題越多，找到解決問題的辦法越困難。因此，根據《課標》倡導的精神，在小學數學教學中很有必要有目的、有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法，我將試圖結合教學實踐，對數學思想方法在小學數學教學中的滲透談談個人看法。

數和形是數學研究的兩個主要對象，兩者既有區別又有聯系，在很多時候就像一對孿生兄弟，形影不離，數中有形，形中有數，相互促進。數形結合就是數量關系與空間形式有機結合，其本質是形象思維與抽象思維的相互轉化切換。數形結合是雙向的，一方面抽象的數學概念、復雜的數量關系，借助圖形使之直觀化、形象化、簡單化，另一方面復雜的形體可以有簡單的數量關系表示。

一、以形輔數

用畫線段圖分析問題就是很明顯的數形結合問題，如哥哥和弟弟有同樣多的糖果，現在哥哥讓出4塊糖果給弟弟，弟弟的糖果數變成了哥哥的2倍，問他們原來各有糖果多少塊？把這題交給孩子去解決，大多數孩子想用算式來求得結果，可是卻無從下筆，原因是題目的數量僅憑孩子去想象，很難理清，既是找到了數量關系，要用算式表達出來也還很不容易 ，怎么辦？好在題目數據不是太大，有相當一部分學生根據生活經驗，選用一些數據去嘗試，最終找到了答案，或者說是猜出了結果，僅僅是猜對了，解決問題的能力還停留在原有的水平上，并沒有得到促進，以后再碰到類似的問題，學生還是不能順利解決，如何讓題目的數量關系更加清晰呢？借助線段圖來表示題目中的數量關系，就是一種很好的方法，先讓學生找到關鍵句弄清誰與誰比（哥哥和弟弟），數量大小現在什么關系（相等），用畫線段圖表示數量時，兩條線段的長度有什么關系，學生很自然就會畫出兩條相等的線段來表示他們的糖果數相等，哥哥讓給弟弟4塊糖果，現在滿足弟弟的糖果數時哥哥的2倍，用線段圖該怎么表示，無需老師點撥，學生就用線段圖正確表示出了數量關系，換了一個角度順利的解決了問題。我們讓學生經歷結果產生的過程，而非告知結果，我們應該讓我們的教學自然流暢而非人為干預引導，這樣一來，不但解決了問題，同時又讓學生在思維上得到了突破，克服數學問題必須用算術法來解決的思維定勢，拓展了學生的視野，提高了學生思考的維度，讓學生從具體的事例中體會到數形結合優越性。

二、以數解形

有關圖形中往往蘊含著數量關系，特別是復雜的幾何形體可以用簡單的數量關系來表示。而我們也可以借助代數的運算，常常可