討論根的個數的方法精選(九篇)

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第1篇：討論根的個數的方法范文

    本文以人教版九年義務教育五年制小學第十冊數學第31頁的“百分數應用題例3”的教學為例，談如何靈活 運用“學導式”（本刊1998 年7—8月號）進行教學。

    一、鋪墊導入

    1.聽老師念應用題，然后讓學生根據題意，分別說成一道文字題，再口答算式。

    （1）某村去年造林20公頃，今年造林25公頃。 去年造林是今年和幾分之幾？

    （2）某工程隊七月份修路20千米，八月份修路25千米。 七月份修路是八月份的百分之幾？

    師：同學們想一想，這兩道題的算式為什么會一樣呢？

    教師引導學生通過觀察、比較、分析，明白“分數應用題”與“百分數應用題”的解題思路和方法是相同 的。

    2

    2.討論題：有的同學認為“3米比5米少─，也可以說成5米比3米多

    5

    2

    ─。”這樣說對不對？為什么？

    5

    通過討論，讓學生明確：解答分數應用題時， 關鍵要找準單位“1”的量，要分清楚是哪個數量與哪個數 量相比較。

    3.補題導入。

    教師出示一道不完整的應用題：“一個鄉去年原計劃造林12公頃，實際造林14公頃。”要求學生想一想： 根據題中的已知條件，可以提出哪些求百分之幾的問題？

    學生可能提出很多個問題，教師選擇“實際造林比原計劃多百分之幾？”的問題，變成例3。然后揭示課題 。

    〔注析：這個數學環節的設計，具有“活、實、 趣”的特點：（1）聽題答題，形式活潑；（2）誘導討論 ，訓練落實；（3）補題導入，新穎有趣。〕

    二、學習新知

    1.明確目標。

    師：看到例題和課題，同學們想一想，議一議，這堂課我們要學習哪些內容？達到什么要求呢？

    歸納學生的回答，展示學習目標。（略）

    2.自學新知。

    師：（指著例3）怎樣解答這道題呢？請大家邊看課本例3的解法，邊思考以下幾個問題：（1）從問題看，

    是哪個數量和哪個數量相比較：應當把哪個數量看作單位“1”？（2）求實際造林比原計劃多百分之幾，就是 求什么數量占什么數量的百分之幾？應該先求什么？再求什么？

    〔注析：培養學生自學能力是為學生今后的“自我發展”打好基礎。但自學能力的培養要講究策略，要做 到主導性和主體性相統一。讓學生自學課本，從課本中自主探究，獲取知識，這是學生自主學習的重要形式， 突出了主體地位。思考題的設計體現了教師主導的必要性。〕

    3.啟導理解。

    （1）師生共同作例3的線段圖，并讓學生在線段圖上指出“多”的部分是（14—12）公頃。

    （2）指名回答自學思考題， 著重啟發引導學生理解：“求實際造林比原計劃多百分之幾？”列成關系式 是：多的公頃數÷原計劃的公頃數＝所求。

    （3）根據以上分析，啟發學生列出算式（指名口頭列式， 教師板書）。

    〔注析：“學導式”中的“啟導理解”有別于傳統教學方法的教師主宰講解。它要求教師必須采用啟發式 進行教學，要充分發揮學生的主觀能動性作用，讓學生主動參與感知、探究、理解、內化的學習過程。在學生 感知應用題內容的基礎上，畫出線段圖，再探究解題的關鍵，理解數量關系，把內化的解題思路與方法外化為 解題算式，這教學軌道吻合學生的認知規律。〕

    4.質疑問難。（如果有些問題學生沒提出來，教師也可自我設問挑疑，將學習引向深入。）

    （1）這道題還有其他解法嗎？

    指導學生看分析圖，討論新的解題思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。

    （2）如果把例3中的問題改成“原計劃造林比實際造林少百分之幾”，該怎樣解答？

    先引導學生從問題看，思考是哪兩個量比較？把誰看作單位“1 ”？（可讓學生遷移運用學習例3時的方法 ， 教師要特別注意學習方法的指導。）

    （3）學生有可能還提出以下一些疑問：例3第2種解法中的“14 ÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能 不能寫成100％？ 怎樣正確使用“約等于號”和“等于號”等問題，教師可根據實際情況，靈活釋疑，既可以 由教師直接解疑也可以讓學生互相解疑。

    〔注析：質疑問難能力是學生文化科學素質、心理素質的綜合反映，培養學生質疑問難能力是素質教育的 需要，是“學導式”教學法的一個著力點。這里并不拘泥于“學導式”的教學程序，而是根據教材編排特點和 認知規律，靈活調換教學步驟，將“質疑問難”放在“啟導理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根據 學生的差異性調整、補充、修正教學思路。〕

    5.歸納學法。

    （1）引導學生將例3的第一種解法和改變問題后的第一種解法進行比較。異同點在什么地方？為什么除數 不一樣？

第2篇：討論根的個數的方法范文

根據數學知識本身的特點——系統性、連貫性，可以知道新知識是相對的新知識，它是舊知識或者說是已知知識的延伸、發展或轉化過來的，新知識只是相對的新知識，與已知知識有相關的連接點，或是落腳點. 另外，作為學習的主體，學生有著學習的積極性、主動性，以及一定的生活經驗、學習特點，這也為這種導入方法創造了條件.

由于是基本的導入方法，教學中能應用的這種導入方法的內容比較多，不一一列舉. 我以兩步計算應用題為例列舉說明.

準備題：列式計算，說說列式的依據.

（1）食堂每天吃8袋糧食，吃了4天，一共吃了多少袋？

每天吃的袋數 × 吃的天數 = 一共吃的袋數

8 × 4 = 32（袋）

（2）食堂原有50袋糧食，吃了32袋，還剩多少袋？

原有米的總袋數 - 已吃了的袋數 = 剩下的袋數

50 - 32 = 18（袋）

計算反饋后，要求學生把兩道一步計算應用題合編成一道兩步計算的應用題，分組討論編寫，由于數量關系清楚，編寫難度不大，解答也不成問題，但應注意中間問題的尋找. 這種導入方法分解了難度，逐個突破，使學生完成任務不再困難. 二、對比方法的導入

發現問題，解決問題，這是培養學生學習方法的舉措之一. 通過對新舊兩類知識或同一類知識中兩個方面相近或相似的揭示，讓學生從比較中找出差距，找出問題，由此及彼，觸類旁通，這樣不但能使學生進行知識的聯結，牢固掌握知識，還能培養學生學習興趣，發展思維，更能教給學生解題思路，掌握解法的道理.

教學內容有：兩步計算與三步計算的計算題；除數是一位數和除數是兩位數的除法豎式計算；除法、分數與比三者之間的各自性質；等等. 這里仍以兩步計算應用題為例.

投影出示8個蘋果，梨一袋，求蘋果和梨一共有（ ）個. 根據投影討論下列問題：

（1）求蘋果和梨一共有多少個，能不能直接進行計算，為什么？

（2）如果用一步計算，要補充什么條件？

（3）如果用兩步計算，要補充什么條件？

（4）你認為“梨的個數和蘋果的個數之間的關系”可以怎樣表示？

學生利用已有知識討論得出“梨的個數 + 蘋果的個數 = 一共的個數”. 要求用一步計算，梨的個數已知就可以解決問題；通過比較得出要求用兩步計算時，梨的個數應未知，應告知梨的個數與蘋果之間的關系；通過一步計算與兩步計算的比較進一步得出“梨的個數”與“蘋果的個數”可以是“和差關系”也可以是“倍數關系”.

根據上述條件關系補充條件，就成一題兩步計算應用題. 三、從實際生活問題導入

由于數學問題起源于實際生活，同時又為解決實際生活問題而產生. 學生對身邊的問題比較熟悉，那么在導課中利用身邊的實際問題，既能幫助學生解決了身邊問題，又能掌握數學知識；既培養了學生學習數學的興趣，養成了理論聯系實際的思考方法，同時還發展了學生的思維.

對整數退位減法、重量單位千克的認識、體積等等內容可應用這種導入方法. 現以比的意義給大家介紹：

（1）出示日常生活中常見的信息：爸爸年齡38周歲，兒子年齡13周歲. 你從中可知道哪些問題？年齡和年齡差、倍數、分率關系，商的問題等. 如：

（2）3支圓珠筆6元錢，每支幾元？ 6 ÷ 3 = 2（元）

（3）李平5天看書100頁，每天看幾頁？100 ÷ 5 = 20（頁）

教師小結：上面幾組除法算式還可用另外一種方法述說，如：

上述內容是學生實際生活中經常遇見的，而抽象的數學知識用這些具體知識來幫助解決，就顯得容易多了，學生也會樂學，愛學.

四、從培養學生學習興趣導入

興趣導入能激發學生求知的欲望，激勵學生勇于探索，提高學生的思維能力. 要讓學生愛數學，喜歡數學，首先要培養學生對數學感興趣. 可以根據學生的好奇心，精心設計教學內容、教學結構，讓學生充分展示自己的才能，讓學生有突破，發展學生的創新精神.

這種導入可選擇的內容有：周長的計算、面積的計算，等等. 這里以比的基本性質為例.

出示■ = （ ），要求是：盡量多填，并能說出根據；選出你認為最有創意的答案.

反饋，經老師歸納后如下：

第3篇：討論根的個數的方法范文

【關鍵詞】 單調性； 次數； 儒歇定理

中圖分類號：O174.5 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）01（a）-0000-00

高等數學是本科生的公共基礎課程，既為后續課程的學習打下基礎，也有助于培養學生分析問題與解決問題的能力、邏輯推理能力。為了提高學習高等數學的效率，教師需要在以后的教學中啟發學生獨立思考，培養學生學習數學的積極性與主觀能動性，開闊學生的思維與視野。下面用一些例子來說明一點這方面的體會。在學習高等數學中，我們知道大家經常利用介值定理判斷實函數在某些區間有沒有實根，但是通常比較難以確定根的個數。本文根據函數的性質及實函數與解析函數的關系，結合自己的長期的教學經驗，給出三種簡單實用的方法來確定解的個數或方程根的個數。

一 利用函數的單調性判斷函數零點的個數

定理1 如果函數 在閉區間 連續單調且 ，則 在 內有且僅有一個零點。

證明（略）。

根據上述討論得知 至少有四個零點，由于 是五次多項式，則 是四次多項式，因此 最多有四個零點，于是由定理 3知 有且僅有四個零。

三 利用儒歇定理判斷函數零點的個數

定理 3 假設

（1） 與 在簡單閉圍道 上及其內部均是解析的；

（2） 在圍道 上每點均有 ，

則函數 與 在圍道 內的零點個數相同（零點按重數計）。

證明（見[4，5，6]）。

由儒歇定理可知， 利用一些簡單的解析函數可以判斷比較復雜的解析函數在某區域的零點個數。

由儒歇定理， 與 在 內的零點個數是相同的。由于 在單位圓內顯然有一個零點，所以 在單位圓內也有一個零點。因此原方程有一個根。

我們根據實函數與解析函數的關系與性質. 也可以利用儒歇定理來考慮某些實函數根的個數問題。

由儒歇定理， 與 在 內部的零點個數是相同的。由于 在單位圓內內按重數計算有2 個零點，所以 在單位圓內也有兩個零點。因此 在 內有且僅有兩個零點。

說明： 對于某些實變函數， 由介值定理可判斷在給定的區間根的最少個數. 再結合函數的單調性、微分中值定理與系數以及復變函數中的儒歇定理， 可以確定在給定區間根的具體個數。每一門學科都有規律，這種規律需要總結與歸納。找到這些規律與學習方法，發揮主觀能動性，學好高等數學就不難了。

參 考 文 獻

[ 1] 同濟大學應用數學系，高等數學[M]， 北京： 高等教育出版社， 2007.

[ 2] 陳紀修， 淤崇華， 金路. 數學分析（上冊）[M]， 北京： 高等教育出版社， 1999..

[ 3] 劉玉璉， 傅沛仁， 等. 數學分析講義[M] 4 版， 北京： 高等教育出版社， 2003.

[ 4] 譚小江， 伍勝健， 復變函數簡明教程[M]，北京： 北京大學出版社， 2006.

[ 5] 張錦豪， 邱維元， 復變函數論[M]， 北京： 高等教育出版社， 2001.

[ 6] 龔晟， 簡明復分析[M]， 北京： 北京大學出版社， 1996.

On the zeros of real function

three discriminant method

Department of Applied Mathematics， College of Science，

Hunan Agricultural University， ChangSha 410128， China

第4篇：討論根的個數的方法范文

一、引言

近年來，移動通信技術可謂是發展迅猛，然而通訊信號的發出與接收需要基站的接力中轉. 不僅如此，雷達、衛星等等的通訊工具都有一本文由收集整理定的信號接收范圍，而其昂貴的造價容不得其過多的采用. 如何用最少數量的中轉基站保證信號質量和覆蓋率是值得研究的問題.

上述實際問題可通過解決下述數學問題來解決，即：設ω是一半徑為r的大圓，用n個半徑為r的小圓ω1，ω2，…，ωn（n是正整數）完全覆蓋大圓ω，即 .對于不同的r和確定的r試確定n的最小值（即小圓的最小個數）.

1.基站選址的理論分析

（1）基于抽屜原理的等分圓周法（適用于n=2，3，4）

小圓個數較少時，情況相對簡單，我們可以用根據抽屜原理來解決這個問題。為方便起見，我們令大圓ω的半徑為1，先討論在n一定的情況，r的最小值.

根據文獻《用小圓覆蓋大圓》，加以作圖1、圖2說明，我們容易得到：在n=2，3，4時，最小半徑分別為r2=1，

現已求出給定一大圓半徑，分別用2，3，4個小圓覆蓋大圓時的最小小圓半徑. 這與我們一開始提出的求給定一大圓半徑，用已知半徑的小圓覆蓋大圓時的小圓的最小個數等價. 不妨設小圓的半徑為1，大圓的半徑為r，記此時所需要小圓的最小個數是f（r）（它是r的函數）. 則根據上面的討論，我們有：

但是此方法不能推廣到n≥5時，原因是當n≥5時，按照上述方法求出的半徑為 的小圓不能覆蓋大圓的全部，例如n=5，時，有圖3所示的結果，而其最優方案應該如圖4，它的最優性也在1983年時被károly bezdek證明. 其證明過程繁雜，并且小圓的半徑r很難求出，但是我們可以知道它的半徑范圍為：

對于n≥5的情形一般很難討論，于是我們下面提出用數學統計法來確定小圓的最小半徑。

2.基于monte carlo法的數學統計法

首先我們研究覆蓋面積的統計分布，令大圓

小圓的圓心o1，…，om，相互獨立且服從二維正態分布：

式（3）中的σ12，…，σm2為方差，i2為r2的單位矩陣. 令s表示大圓ω被m個隨機小圓覆蓋的陰影面積. 這個陰影部分的面積s就是我們要研究的對象. 當的數目在增加時，利用統計中的monte carlo方法，可得s的近似分布。

接下來，我們用數論的方法來進行這一問題的隨機模擬。

首先在大圓ω上構造一個nt網，并假設該網由n個點組成，且這些點在大圓上均勻分布. 若其中有m個點被小圓隨機圓覆蓋，則s的面積可以用：

來估計.

最后我們參考汪文俊等人的基于monte carlo法的思想求小圓最小半徑的數學統計法。

理論上，用5000次隨機模擬就包含所有的情況似乎不夠嚴謹. 故我們在這里引入 的置信區間. 這里假設顯著性水平α=0.05，即置信度為95%.

假設樣本yk代表模擬計算得到的一系列可靠度值，將yk從小到大排得：

與第一部分類似地，當小圓的半徑為1，大圓的半徑為r時，此時所需要小圓的最小個數：

第5篇：討論根的個數的方法范文

現以“四川省2013年小學數學青年教師優質課觀摩活動”榮獲一等獎的自流井區塘坎上小學黃際老師執教的“長方體和正方體的體積計算”一課為例進行分析。

一、問題引入時感悟“再創造”的思想

【片段一】

師：同學們，喜歡玩積木嗎？

生：喜歡。

教師課件出示：1cm3的正方體積木搭成的2個長方體和一個不規則的立體圖形。

師：老師用這種體積為1cm3的正方體積木搭成的圖形，你知道它們的體積是多少嗎？

教師和學生一起回顧舊知：要想知道一個物體的體積是多少，就看它含有多少個單位體積。

師：要知道這個長方體橡皮泥的體積（課件出示一個長方體橡皮泥），你有什么辦法？

生1：將橡皮泥切成1cm3的正方體，數數有幾個正方體就知道它的體積了。

生2：把長方體沉入裝有水的燒杯里，水上漲的體積就是它的體積。

師：如果要知道一個長方體粉筆盒或一摞作業本的體積，怎么辦？

生：可以用算的方法。

師：為什么？

生：因為粉筆盒和作業本切碎或者到浸沒到水中以后就弄壞了，用計算的方法就不會弄壞，而且還更簡便，不用去切或浸沒。

師：很好，你真不錯！知道解決問題要契合實際，找簡便，適用的好方法。你們也會這樣嗎？

師：看來用“切”和“浸沒”這兩種方法求長方體的體積都有一定的局限。這里我們得用一種既不損壞長方體，還能簡便求出長方體體積的方法――計算。可怎樣算呢？

【導引一】在問題引入中，我們不難看出老師在從學生熟悉的搭積木出發，喚起學生已有知識和活動經驗，溝通新舊知識的鏈接點，在放手讓學生想辦法求長方體的體積。橡皮泥是一個可切，可浸沒的長方體，學生利用已有的認知基礎“要想知道一個物體的體積是多少，就看它里面含有多少個單位體積”易于解決，但不能切、不能浸沒于水中的粉筆盒和作業本，怎樣求出其體積？

這種情形對學生來講是一種挑戰，能很好地激發學生探索新方法的欲望。同時，我們應該看到教師在這個過程中，讓學生充分體驗和感悟了解決問題要聯系實際，要在已有經驗和方法的基礎上改進和研究新方法的“再創造”的基本數學思想。

二、探究過程中感悟“建模”的思想

【片段二】

師：現在一起來探究長方體體積計算方法。同桌合作，用12個1cm3的正方體擺出一個長方體，并把相關數據記錄于下表中。

學生交流分享了6種不同的擺法，教師根據學生交流的情況將相應的數據記錄于上表中。

師：現在仔細觀察這個表，你有什么發現？

生1：我發現每排的排數、個數和層數有不同的擺法，但是擺出的長方體體積都是12cm3。

生2：因為用的1cm3的正方體總個數都是12個，所以無論怎么擺，擺出的長方體體積都是12cm3。

生3：我發現長方體的體積=長×寬×高。

生4：我發現每個長方體每排個數、排數、層數相乘，都等于長方體的體積。

師：是嗎？（課件出示用1cm3的正方體擺出的3×2×2形狀的長方體）以這個長方體為例，請你說給大家聽聽。

生：這個長方體每排個數是3，2排，2層。一層3乘2，用了6個小正方體；兩層，6乘2，用了12小正方體。所以正方體的總個數是12，這個長方體的體積就是12立方厘米。因此，每排的個數乘排數再乘層數，等于長方體的體積。

師：前面有同學說“長方體的體積等于長乘寬乘高”，怎樣想的？請說一說。

生：每排的個數乘排數再乘層數，等于正方體的總個數，正方體的總個數就是長方體的體積。這里，每排個數相當于擺出的長方體的長，排數相當于寬，層數相當于高。所以，長乘寬乘高等于長方體的體積。

師：我還不太明白，誰能結合這個長方體再說一說。

生：這個長方體每排個數相當于它的長，排數相當于寬，層數相當于高，每排個數、排數、層數相乘等于正方體的總個數，也就是長方體的體積。所以長方體的體積=長×寬×高。

師：這個每排個數是3個，排數是2排，層數是2層的長方體，它的長、寬、高各是多少？

生：長是3cm，寬是2cm，高是2cm。

師：為什么？。

生：因一個正方體的棱長是1cm，每排3個，長就是3個1cm，也就是3cm。排數是2排，寬就是兩個1cm，也就是2cm，層數是2層，高就是2cm。

師：那么它的長乘寬乘高等于？

生：3乘2乘2等于12cm3。

師：與這個長方體體積――？

生：相等。

師：這么說你們都發現了：長方體的體積=長×寬×高？

【導引二】在這個探究過程中，學生通過同桌合作產生多種擺法，并借助實物和多媒體課件，交流、觀察、比較、分析，活躍了思維，達到了對每排個數、排數、層數與正方體總個數的直觀理解；溝通了每排個數、排數、層數、正方體總個數與擺出的長方體的長、寬、高、長方體體積之間的對應關系。

這個過程在數學上稱為建模過程。學生通過拼擺和對比，將拼擺中的每排數、排數和層數與長方體的長寬高進行對應比較，將信息整理與思維聚焦融合起來，使學習經驗和認識成果逐步歸納提煉為一個數學模型，即“長方體的體積=長×寬×高”。

【片段三】

師：同學們通過對“用12個1cm3的正方體擺出一個長方體”進行研究，發現這些長方體的體積等于長乘寬乘高的積。其它長方體的體積也等于長乘寬乘高的積嗎？猜一猜。

生：我猜想其它長方體的體積也等于長乘寬乘高的積。

師：猜想的結果是否正確，是需要驗證的。你們能驗證嗎？誰知道怎么驗證？

生：我們用不同個數的正方體任意擺出一個長方體，看它的體積與長乘寬乘高的積是否相等來驗證。

師：好主意。那就分小組合作驗證吧。

師：用若干個1cm3的正方體任意擺出一個長方體，看它的體積與長乘寬乘高的積是否相等。把你們驗證過程中的相關數據記錄于下表中。

學生小組合作驗證，然后向全班匯報。最后得出結論：長方體的體積=長×寬×高。

師：你們中有擺出的長方體體積與長乘寬乘高的積不相等的嗎？

生：沒有。

師：這下我們是用不同個數的1cm3的正方體任意擺出一個長方體，它的體積都等于長乘寬乘高的積了，那我們是不是可以說所有長方體的體積都等于長乘寬乘高的積呢？

生：可以。

【導引三】通過學生對“其它長方體的體積也等于長乘寬乘高的積嗎”這個問題的研究，放飛了學生的思維。學生大膽猜想，分組探究，舉例驗證了“長方體體積=長×寬×高”。

這個研究過程就叫做數學模型的推廣。因為我們通過一個或幾個例子得到的結論，在數學上叫做不完全歸納法。這樣得出的數學模型的可靠性值得懷疑。因此，教師通過組織學生進行任意舉例驗證，再度實施研究，進一步解釋了本數學模型的正確性和合理性。雖然我們現在的解釋還是處于低級階段，但是給學生提供了深入進行數學研究的思路，就是不斷地將已經形成的初步數學模型進行推廣驗證的思想方法。

三、討論交流中感悟“演繹”的思想

【片段四】

師：每個小組舉了2個例子，全班一共才舉了10幾個例子，驗證了“長方體體積=長×寬×高”，其中還有些例子是重復的。就能說明所有長方體的體積都等于長乘寬乘高嗎？

生：不能，但我們還可以繼續舉出很多這樣的例子來驗證。

師：就這樣一直舉下去？能舉完嗎？你打算怎么舉例？

學生思考交流討論形成共識：例子很多，舉不完，但為了不重復和遺漏，要按照一定的順序――從小到大的舉例驗證。

師：這個辦法不錯，很好！我們就用這個方法一起來驗證：

師：就從第四組已經驗證的這個長方體起，（課件展示長是5cm、寬2cm、高1cm的長方體。）由小變大依次進行驗證。

師：這個長方體我們讓它的長、寬不變，只讓它的高變化。向高的方向增加一層（課件展示相應的長方體），看看現在這個長方體的情況。

生：這個長方體中1cm3正方體總個數是20個，它的體積就是20cm3，它的長、寬沒有變化，所以長是5cm、寬2cm；這個長方體加高了一層的，也就是高增加了1cm，所以高變為了2cm變。這樣，長乘寬乘高就是5乘2乘2等于20cm3。

師：這說明什么？

生：說明現在這個長方體的體積也等于長乘寬乘高的積。

師：好！如果長、寬繼續保持不變，高再增加一層呢？

學生驗證得出：高再增加一層得到的長方體的體積也等于它的長乘寬乘高的積。

師：那如果照這樣依次增加到第四層，五層、六層、七層、八層、九層、十層能驗證嗎？試試看。

有學生通過計算驗證，有學生借助課件，觀察計算比較發現：長方體增加一層，他的體積就增加10cm3，高增加1cm，長乘寬乘高的積也增加10cm3于是驗證了“長方體的體積=長×寬×高。”

師：不錯！居然在驗證過程中，還找到了他們的變化規律，利用這個變化規律來驗證，就省事多了，你們真聰明！照這樣依次增加到一百層、一千層，一萬層……還能驗證嗎？閉眼，想像思考一下。

生：能驗證。只要能擺出來，就都可以驗證。

師：那我們現在還有必要再一一計算驗證下去嗎？為什么？

通過討論，大家認為，不論那種情況我們都有驗證，現在可以說所有的長方體的體積都能用長乘寬乘高來計算了。接著，教師和學生一起總結，并板書：“發現―猜想―驗證―結果”。

【導引四】在這個交流討論和共同驗證的過程中，老師用“其中還有些例子是重復的。就能說明所有長方體的體積都等于長乘寬乘高嗎？”“就這樣一直舉下去？能舉完嗎？”這樣的問題，讓學生在討論交流的過程中，認識到前面的擺長方體進行的舉例驗證，雖然打破了總體積12cm3的局限，但自己在舉例時，思維是無序的，信息是有限的。同時，老師這樣的追問，把問題步步引向深入，把學生置于不能不去、不得不去解決的問題情境中，促使學生的思考不斷深入。進而想出了在一個長方體的基礎上由小到大依次添加一層，也就是長方體的長、寬不變的情況下，高依次增加一個單位長度，來驗證所發現的“長方體的體積=長×寬×高”。

第6篇：討論根的個數的方法范文

知識與技能：理解并掌握乘法分配律的意義，會用字母表示乘法分配律。

過程與方法：經歷計算、對比、發現，歸納總結乘法分配律的探索過程。

情感態度與價值觀：讓學生感受數學來源于生活，培養學生團結合作、勇于探索的精神。

【教學重點和難點】

重點：理解和掌握乘法分配律的意義。

難點：揭示乘法分配律的特點。

【教法與學法】

教法：引導——發現式教學法。

學法：獨立思考、分組討論、團結合作。

【教學準備】

教學掛圖。

【教學過程】

一、復習準備

讓學生口頭復述乘法交換律和乘法結合律，并回答下列各題：

17×25=25×（ ）

49×35=（ ）×49

a×b=b×（ ）

39×2×35=39×（×）

40×（15×38）=（40×）×38

（a×b）×c=a×（×）

師：前面我們經過計算、分析、比較，發現了乘法交換律和乘法結合律，這節課我們繼續探索乘法還有什么定律。

二、探索新知

1.設置情境，提出問題

師：每年3月12日是“植樹節”，很多同學參加了植樹活動，讓我們看看同學們積極植樹的場面。

出示植樹主題圖，讓學生觀察并找出已知的條件。經過學生仔細地觀察、尋找、整理，發現已知條件：一共有25個小組參加植樹活動，每組有4名同學負責挖坑、種樹，有2名同學負責抬水、澆樹。

讓學生根據已知的條件提出一些數學問題，師生共同解決。這時，有學生提出：一共有多少名學生參加了這次植樹活動？

（1） 教師先組織學生獨立思考，再分小組議一議：先算什么，再算什么？

經過學生的思考、討論、分析，讓各小組選派代表匯報本組的解答方法。

方法一：先求每組的人數，再求總人數。

（4+2）×25=6×25 =150（人）。

方法二：先分別求出負責挖坑、種樹和抬水、澆樹的人數，再求總人數。

4×25+2×25 =100+50=150（人）。

（2） 教師引導學生比較、區別這兩種方法的異同之處。

解題思路不同、列算式不同，但是最后計算結果是相等的，所以（4+2）×25=4×25+2×25。

思考題：25×（4+2）25×4+25×2，應該填什么符號。

（3） 歸納總結定律。

師：從上面的等式中你能判斷出是不是類似的算式都有這樣相等的關系呢？

組織學生在小組內交流、討論、合作，并讓學生仿照上面的例子舉一些類似的算式，并算一算，再進行檢驗。

（15+13）×4=15×4+13×4；

（7+3）×12=7×12+3×12；

（21+37）×13=21×13+37×13。

教師引導學生歸納總結乘法分配律。在（4+2）×25=4×25+2×25等式中，左邊算式的運算順序：先求和，再求積；右邊算式的運算順序：先求積，在求和。

師生共同歸納等式的特點：“先求和，再求積”=“先求積，再求和”。

小結：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這個數分別相乘，再相加。這叫做乘法分配律。

師：如何簡便地表示乘法分配律呢？a×（b+c）和a×b+a×c相等嗎？

（4）比較區別乘法分配律與結合律的不同點。

師：乘法分配律和結合律一樣嗎？

組織學生在小組中討論、比較，然后以小組為單位選派代表發表各小組的意見，并相互交流。學生得出結論：乘法結合律是三個數相乘，而乘法分配律是兩個數的和同一個數相乘。

三、課堂練習反饋

1.完成課本第36頁“做一做”。

下面哪個算式是正確的？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。

56×（19+28）=56×19+28 （ ）

32×（7×3）=32×7+32×3 （ ）

64×64+36×64=（64+36）×64 （ ）

先組織學生讀題，弄清楚題意再思考，然后在小組內相互討論交流。

2.完成課本38頁練習第7題。

下面每組算式的得數是否相等？如果相等，選擇其中一個算出來。

（1）25×（200+4）；25×200+25×4。

（2）35×201；35×200+35。

（3）265×105-265×5；265×（105-5）。

（4）25×11×4；11×（25×4）。

組織學生在小組中討論，加深學生對乘法分配律的理解。

四、課堂小節

讓學生說一說這節課的收獲。

五、課后作業

1.不計算，把下面得數相等的式子用線連起來。

59×29+59×71 48×5-18×5

57×（20-18） （28+72）×25

28×25+72×25 57×20-57×18

（48-18） ×5 59×（29+71）

2.填一填。

134×4+134×6=×（+）

4×a+a×5=（+）×

（45+55）×72=×+×

【教學反思】

第7篇：討論根的個數的方法范文

[關鍵詞]小學數學 新穎 生動 倒數 賞析

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）35-032

教學片斷一：

師：學數學就得和數打交道。通過幾年的學習，同學們已學過了很多的數，最先學習的是――

生：自然數，也就是后來的整數。

師：后來我們又一起學習了――

生：分數、小數。

師：不錯。今天學習的知識也跟數有關，但又有別于前面學過的數，因為它的前面還有一個字――倒。今天這堂課，我們就一起來“認識倒數”。（板書課題）

師：老師想請同學們先猜想一下，倒數是什么樣的？

生1：倒數會不會就是把數倒過來？

生2：倒數是不是指倒了以后的數？

生3：是不是所有的數都有倒數？

師：對于什么是倒數，同學們表達了自己真實的想法，但作為一個概念，正確的定義顯然只有一種。所以，你覺得今天這堂課我們要解決的第一個問題應該是什么？

生4：什么是倒數？（板書：是什么？）

師：除此之外，同學們還想了解些什么？

生5：我想知道學習倒數有什么用。（板書：用在哪？）

生6：我想知道怎樣求倒數。（板書：怎樣求？）

師：好，接下來我們就一起來研究、解決同學們提出的這些問題。

……

[賞析：課始教師提出問題，既是對學生已有知識經驗的回顧，又引導學生溝通了新舊知識間的聯系，并將“是什么”“怎樣求”“用在哪”這些原本高高在上的教學目標在學習內需的驅動下，巧妙、無痕地轉化為學生急切想了解和解決的問題。同時，教師抓住知識的特征，站在學生的角度設計問題，整個過程層層遞進、環環相扣，給人以余味無窮之感。]

教學片斷二：

師：請同學們打開數學課本第36頁找到倒數的定義，并輕聲地讀一讀。（生讀略）現在誰來說說什么是倒數？（生答師板書）這句話中有不明白的地方嗎？

生1：我想知道“互為”是什么意思。

師：問得好。誰來說說？

生2：“互為”是指相互的意思，就是指你是我的倒數，我是你的倒數。

師（多媒體出示）：誰能結合具體的例子來說一說？（生答略）

師（多媒體出示）：請同桌相互說說，誰和誰互為倒數？誰的倒數是誰？（生答略）

師：學到現在為止，剛才同學們提出的第一個問題解決了嗎？還有其他問題嗎？

師：老師還有一個問題。倒數這個概念的成立其實是有前提條件的，你發現了嗎？

生3：要有兩個數，且它們的乘積是1。

師：不錯。兩個數的乘積是1，這是倒數這個概念成立的前提條件。

……

[賞析：余文森教授針對教師的講解提出了“三講三不講”原則，即“已經會的不講，自己能學會的不講，講了也不會的不講;講易混、易錯、易漏點，講想不到、想不深、想不透的，講解決不了的”。上述教學環節，教師較好地處理了講與不講的關系，如在學生通過自學對倒數的意義有了初步認識的基礎上，引導學生對問題、困惑進行探討和交流，深化學生的認識。教師于無疑處生疑，使學生深刻理解了倒數的概念。]

教學片斷三：

師：請打開作業紙一，接下來老師想請同學們根據倒數的意義，自己寫幾個分數并求出它的倒數，然后同桌兩人一起討論怎樣求一個數的倒數。（學生討論后交流求倒數的方法，師板書方法）

師：同學們已經會求一個數的倒數了，接下來我們進行一個搶答比賽，即老師說一個分數，誰的反應快就直接站起來響亮地說出它的倒數。（師說分數，最后兩個分數分別是2）

師：2的倒數，有的同學認為是2，有的同學站起來后又坐下去了，出現什么問題了？

生1：2的倒數不是2，因為2×2不等于1。

師：倒數的概念掌握得很清晰。可求一些分數的倒數只要直接把分子、分母交換位置就行了，這里怎么不行呢？

生2：因為前面的分數都是真分數和假分數，這里是帶分數。

師：問題又來了。那么，帶分數的倒數到底應該怎樣求呢？還有，求一個數的倒數，這個數除了分數，整數可以嗎？小數呢？那求整數、小數的倒數的方法又是什么呢？（生思考）

師：接下來，我們分組來研究。請同學們打開作業紙二，先試著求出幾個數的倒數，然后四人小組思考、討論作業紙中的一個問題。（學生完成后討論以下問題：通過舉例研究，我發現求 的倒數，只要

）

師：這一組同學研究的是求帶分數的倒數，他們發現求帶分數的倒數的方法是――

生3：先把帶分數化成假分數，再把分子、分母交換位置。

師：這一組同學求的是整數的倒數，他們發現求整數的倒數的方法是――

生4：求一個整數的倒數，只要用這個數作分母，用1作分子即可。

生5：還可以把整數看作分母是1的假分數，然后把分子、分母交換位置。

師：整數當中有兩個數比較特殊，知道是什么數嗎？它們的倒數又分別是多少呢？請同時說明理由。

生6：這兩個數分別是1和0，1的倒數是1，0沒有倒數。因為兩個數的乘積是1，這是倒數這個概念成立的前提，而0乘任何數都得0，所以0沒有倒數。

師：由此，求一個數的倒數，對這個數還要增加一個說明，那就是0除外。

師：這個小組求的是小數的倒數，他們發現求小數的倒數的方法是――

生7：先把小數化成分數，再把分子、分母交換位置。

生8：我們小組討論后發現是用1除以這個小數，也能求出這個小數的倒數。

師：比較這兩種方法，大家有什么想說的嗎？

生9：我覺得這兩種方法都行，涉及具體的題目，哪一種簡便就用哪一種。

生10：我們認為把小數先化成分數再求出它的倒數，可能更適用于一般情況。比如求0.3的倒數，用1÷0.3的話，它的商是循環小數，表示起來就比較麻煩，而先化成分數就是 ，它的倒數是，這樣更簡便。

師：你的說明有理有據。所以，求小數的倒數，我們一般是先把小數化成分數。

……

[賞析：上述教學中，教師以板塊的形式組織教學：先求真、假分數的倒數，再求帶分數、整數、小數的倒數。這樣安排，符合學生的認知規律，使教學的結構和層次更加清晰。同時，通過搶答游戲，既鞏固了學生學習的新知，又引發了學生對新問題的聚焦，使學生在活動中主動建構新知。]

第8篇：討論根的個數的方法范文

一、函數與方程思想

函數思想就是用運動、變化的觀點分析和研究現實中的數量關系，通過問題所提供的數量特征及關系建立函數關系式，然后運用有關的函數知識解決問題.如果問題中的變量關系可以用解析式表示出來，則可把關系式看作一個方程，通過對方程的分析使問題獲解.

所謂方程的思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的的解題思路和策略.它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎.函數與方程思想是中學數學中最常用、最重要的數學思想之一.

例1 （山西卷）下圖是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規律的圖案，則第n個圖案中陰影小三角形的個數是 .

解析 由圖可知：第一個圖案有陰影小三角形2個，第二個圖案有陰影小三角形6個，第三個圖案有陰影小三角形10個……則形成數對（1，2），（2，6），（3，10）……

設陰影小三角形的個數與圖案的次序之間的關系為y=kx+b，

將（1，2），（2，6）代入，得k+b=22k+b=6，解得k=4b=-2.

y=4x-2.檢驗知（3，10）也符合此表達式.

陰影小三角形的個數與圖案的次序之間的關系為y=4x-2. 當x=n時，y=4n-2.

故第n個圖案中陰影小三角形的個數是4n-2.

二、分類討論思想

在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異，分各種不同情況予以討論.這種分類討論的方法是一種重要的數學思想方法，同時也是一種解題策略.

引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個方面：

（1）由數學概念、性質、定理、公式的限制條件引起的討論；

（2）由數學變形所需要的限制條件所引起的分類討論；

（3）由于圖形的不確定性引起的討論；

（4）由于題目含有字母而引起的討論.

分類的原則有：①分類中的每一部分是相互獨立的；②一次分類按一個標準；③分類討論應逐級進行.

例2 （湖北襄陽卷）如果關于x的一元二次方程kx2-■x+1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是（ ）

A.k

解析 由題意，根據一元二次方程二次項系數不為0的定義知： k≠0；

根據二次根式被開方數非負數的條件得：2k+1≥0；

根據方程有兩個不相等的實數根，得■=2k+1-4k>0.

三者聯立，解得-■≤k

三、數形結合思想

數形結合思想是數學中重要的思想方法.所謂數形結合就是根據數學問題的題設和結論之間的內在聯系，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并充分地利用這種結合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思想方法.運用這一數學思想解題，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見圖形中的代數特征.

例3 （甘肅蘭州卷）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ ）

A. k-3 C. k3

解析 根據題意得：y=|ax2+bx+c|的圖象如圖2，

所以，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數根，則k>3.故選D.

點評 本題考查了二次函數的圖象，解題的關鍵是根據題意畫出y=|ax2+bx+c|的圖象，然后根據圖象得出k的取值范圍.

四、整體思想

整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易. 整體思想的主要表現形式有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯想、整體補形、整體改造等等.

在初中數學中的數與式、方程與不等式、函數與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應用，因此，每年的中考中涌現了許多別具創意、獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層次思維能力和創新意識方面具有獨特的作用.

例4 （湖南婁底卷）如圖3，正方形MNEF的四個頂點在直徑為4的大圓上，小圓與正方形各邊都相切，AB與CD是大圓的直徑，ABCD，CDMN，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A. 4π B. 3π C. 2π D. π

解析 ABCD，CDMN，

根據軸對稱的性質，陰影部分的面積恰好為正方形MNEF外接圓面積的■.

正方形MNEF的四個頂點在直徑為4的大圓上， S陰影=■π×（■）2=π.故選D.

五、轉化與化歸思想

所謂轉化與化歸思想，就是將待解決的問題和未解決的問題，采取某種策略，轉化歸結為一個已經能解決的問題，或者歸結為一個熟知的具有確定解決方法和程序的問題，最終求得原問題的解.

轉化與化歸思想的原則：

（1）熟悉已知化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將未知的問題轉化為已知的問題，以便于我們運用熟知的知識、經驗和技巧來解決.

（2）簡單化原則：將復雜問題轉化為簡單問題，通過簡單問題的解決思路和方法，獲得對復雜問題的解答啟示和思路以達到解決復雜問題的目的.

（3）具體原則：化歸方向應由抽象到具體.

（4）和諧統一性原則：轉化問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧統一的形式；或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或符合人們的思維規律.

（5）正難則反的原則：當問題正面討論遇到困難時，應想到問題的反面；或問題的正面較復雜時，其反面一般是簡單的；設法從問題的反面去探求，使問題獲得解決.

例5 （山東泰安卷）如圖4，AB∥CD，E、F分別為AC、BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

解析 連接DE并延長交AB于H，

CD∥AB， ∠C=∠A，∠CDE=∠AHE.

E是AC中點， DE=EH. DCE≌HAE（AAS）， DE=HE，DC=AH.

F是BD中點， EF是DHB的中位線， EF=BH. BH=AB-AH=AB-DC=2，

EF=1. 故選D.

點評 作輔助線：連接DE并延長交AB于H，把EF變換成DHB的中位線，使問題易于解決，體現了由未知――已知、綜合――單一的化歸.

例6 （山西卷）如圖5，一次函數y=（m-1）x-3的圖象分別與x軸、y軸的負半軸相交于A、B，則m的取值范圍是（ ）

A. m>1 B. m

第9篇：討論根的個數的方法范文

一、激發學生的學習興趣，啟迪學生的思維

興趣是學生學習的直接動力，它是求知欲的外在表現，它能促進學生積極思考，勇于探索。

人的思維是從具體到抽象，從形象思維向抽象思維轉化的。特別是低年級小學生的思維帶有明顯的具體性、形象性的特點。因此在教學過程中首先要堅持直觀形象這一原則，即用具體、形象、生動的事物充分調動他們的多種感官，讓他們有充分的看一看、摸一摸、聽一聽、說一說的機會，以豐富深化感知。

以認“2”為例，老師先出示實投：2個蘋果、2只小鳥、2個小學生、2輛汽車，讓學生數一數再讓學生在桌上擺2根小棒，2個三角形等具體的實物來豐富學生的感性認識。學生一邊擺圖形，教師一邊提問：“這些東西不一樣，它們的數量一樣嗎？”從中使學生得知盡管這些東西各有不同，但數量都是“2”，可以用數字“2”來表示，使他們的認識從具體到抽象，并在實物下面寫“2”。再請學生講出數量是“2”的各種各樣東西，然后老師又問：“你們看到或聽到‘2'這個數時想到了什么？”他們說，想到人有2只手，2只腳，自行車有兩個轱轆，吃飯要用2根筷子等等，從而使學生又從抽象“2”想到實物，使學生初步形成"2"的概念。

由于直觀形象的方法適應了學生的思維特點，喚起了學生的學習興趣，因而比較好地解決了低年級學生理解力差與教學概念抽象的矛盾，使學生沿著實物--表象--抽象的順序加深了對概念的理解。

二、運用類比方法，培養學生創新思維

1.運用比較辨別，啟迪學生思維想象

如在教學了數的整除的知識后，我出示了這樣一道例題：“一個大于10的數，被6除余4，被8除余2，被9除余1，這個數最小是幾？”應該說這道題是有一定的難度的，學生求解會感到無從下手，這時，我出示了這樣一題比較題：“一個數被6除余10，被8除余10，被9除余10，這個數最小是幾？”這道題學生很快能求出答案：這個數即是6、8和9的最小公倍數多10，6、8和9的最小公倍數為72，因此這個數為：72+10=82；然后我引導學生將上面一道例題與這道比較題進行比較和思考，學生很快知道，上道題只要假設被6除少商1余數即為10，被8除少商1余數也為10、被9除時少商1余數也為10，因此可迅速求得這個數只要減去10，就同時能被6、8和9整除，而6、8和9的最小公倍數為72，因此這個數為：72+10=82。這樣通過讓學生展開聯想和比較，不但可以提高學生的想象能力，同時也能提高學生的創新思維能力。

2.通過分析歸納，培養學生創新思維

如在教學完了平面圖形的面積計算公式后，我要求學生歸納出一個能概括各個平面圖形面積計算的公式，我讓學生進行討論，經過討論，學生們歸納出，在小學階段學過的面積公式都可以用梯形的面積計算公式來進行概括，因為梯形的面積計算公式是：（上底+下底）×高÷2 。而長方形、正方形、平行四邊形的上底和下底相等，即可將這公式變成：底（長、邊長）×高（寬、邊長）×2÷2 =底（長、邊長）×高（寬、邊長）；又因為將圓面積公式是根據長方形的面積公式推導出來的，因此，梯形的面積公式對圓也同樣適用；當梯形的上底是零時，即梯形成了一個三角形，這時梯形的面積公式成了：底×高÷2。這即成了三角形的面積公式。這樣，不僅使學生能熟練掌握已學過的平面圖形的面積公式，同時，也培養和提高了學生的創新能力。

三、巧設探索性問題，培養學生創新思維

如在教學了百分數應用題后，我出示了這樣一題：張老師欲購買一臺筆記本電腦，為了盡可能少花錢，他考察了a、b、c三個商場，他想購買的筆記本電腦三個商場都有，且標價都有是9980元，不過三個商場的優惠方法各不相同，具體如下：

a商場：全場九折。

b商場：購物滿1000元送100元。

c商場：購物滿1000元九折，滿10000元八八折。

張老師應該到哪個商場去購買電腦？請說明理由。

這道題顯然不同于一般的應用題，因此我啟發學生，應該充分考慮如何才能做到盡可能少花錢這一個特定的條件去進行分析與解答。學生進行了認真的分析和討論，最后得出如下的結論：因為每臺電腦的價格均為9980元，而去a商場是全場九折，因此張老師如果去a商場購電腦，那么張老師應該付：9980×90%=8982（元）。

因為b商場是購物滿1000元送100元，張老師如果只買電腦，需付：9980-900=9080（元）；張老師如果再買其它的物品湊滿10000元，需付：10000-1000=9000（元）。

因為c商場是購物滿1000元九折，滿10000元八八折，張老師在c商場購買電腦時，只要再多買20元物品，即湊滿10000元，最多需付：10000×88%=8800（元）。